《4.1 数学归纳法》2013年同步练习（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

用数学归纳法证明：1+++…+＜n（n＞1）．在验证n=2时成立，左式是（ ）
A．1
B．1+
C．1++
D．1+++

2. 难度：中等

用数学归纳法证明1+2+3+…+n²=，则当n=k+1时左端应在n=k的基础上加上（ ）
A．k²+1
B．（k+1）²
C．
D．（k²+1）+（k²+2）+（k²+3）+…+（k+1）²

3. 难度：中等

某个命题与自然数n有关，若n=k（k∈N^*）时命题成立，那么可推得当n=k+1时该命题也成立．现已知当n=5时，该命题不成立，那么可推得（ ）
A．当n=6时，该命题不成立
B．当n=6时，该命题成立
C．当n=4时，该命题不成立
D．当n=4时，该命题成立

4. 难度：中等

已知f（x）是定义域为正整数集的函数，对于定义域内任意的k，若f（k）≥k²成立，则f（k+1）≥（k+1）²成立，下列命题成立的是（ ）
A．若f（3）≥9成立，则对于任意k≥1，均有f（k）≥k²成立；
B．若f（4）≥16成立，则对于任意的k≥4，均有f（k）＜k²成立；
C．若f（7）≥49成立，则对于任意的k＜7，均有f（k）＜k²成立；
D．若f（4）=25成立，则对于任意的k≥4，均有f（k）≥k²成立

5. 难度：中等

用数学归纳法证明1+r+r²+…+rⁿ=（n∈N，r≠1），在验证n=0时，左端计算所得项为（ ）
A．1
B．r
C．1+r
D．1+r+r²

6. 难度：中等

n条共面直线任何两条不平行，任何三条不共点，设其交点个数为f（n），则f（n+1）-f（n）等于（ ）
A．n
B．n+1
C．n（n-1）
D．n（n+1）

7. 难度：中等

设f（n）=+++…+（n∈N*），那么f（n+1）-f（n）等于（ ）
A．
B．
C．+
D．-

8. 难度：中等

在数学归纳法证明多边形内角和定理时，第一步应验证（ ）
A．n=1成立
B．n=2成立
C．n=3成立
D．n=4成立

9. 难度：中等

用数学归纳法证明“＜n+1 （n∈N^*）”．第二步证n=k+1时（n=1已验证，n=k已假设成立），这样证明：=＜=（k+1）+1，所以当n=k+1时，命题正确．此种证法（ ）
A．是正确的
B．归纳假设写法不正确
C．从k到k+1推理不严密
D．从k到k+1推理过程未使用归纳假设

二、填空题

10. 难度：中等

用数学归纳法证明：“1×4+2×7+3×10+…+n（3n+1）=n（n+1）²，n∈N₊”，当n=1时，左端为    ．

11. 难度：中等

用数学归纳法证明（n+1）（n+2）…（n+n）=2ⁿ•1•3•…•（2n-1）（n∈N）时，从“k”到“k+1”的证明，左边需增添的代数式是    ．

12. 难度：中等

观察下表
     1=1
    3+5=8
  7+9+11=27
 13+15+17+19=64
        …
据此你可猜想出的第n行是    ．

13. 难度：中等

设数列{}前n项和为S_n，则S₁=    ，S₂=    ，S₃=    ，S₄=    ，并由此猜想出S_n=    ．

14. 难度：中等

已知f（n）=1+++…+ （n∈N^*），用数学归纳法证明不等式f（2ⁿ）＞时，f（2^k+1）比f（2^k）多的项数是    ．

三、解答题

15. 难度：中等

求证：++…+＞（n≥2，n∈N^*）．

16. 难度：中等

求证：++…+=++…+．

17. 难度：中等

是否存在常数a，b，c使得等式1•2²+2•3²+…+n（n+1）²=（an²+bn+c）对于一切正整数n都成立？并证明你的结论．

18. 难度：中等

已知S_n=1++++…+（n＞1，n∈N^*）．求证：S_2n＞1+（n≥2，n∈N^*）．

19. 难度：中等

平面内有n条直线，其中无任何两条平行，也无任何三条共点，求证：这n条直线把平面分割成（n²+n+2）块．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=x³-x²++，且存在x∈（0，），使f（x）=x．
（1）证明：f（x）是R上的单调增函数；
（2）设x₁=0，x_n+1=f（x_n）；y₁=，y_n+1=f（y_n），其中n=1，2，…，证明：x_n＜x_n+1＜x＜y_n+1＜y_n；
（3）证明：＜．