《2.3 抛物线》2013年同步练习2（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

经过抛物线y²=2x的焦点且平行于直线3x-2y+5=0的直线的方程是（ ）
A．6x-4y-3=0
B．3x-2y-3=0
C．2x+3y-2=0
D．2x+3y-1=0

2. 难度：中等

过点（1，0）作斜率为-2的直线，与抛物线y²=8x交于A，B两点，则弦AB的长为（ ）
A．2
B．2
C．2
D．2

3. 难度：中等

已知抛物线y²=2px（p＞0），过其焦点且斜率为1的直线交抛物线与A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为（ ）
A．x=1
B．x=-1
C．x=2
D．x=-2

4. 难度：中等

已知直线y=k（x+2）（k＞0）与抛物线C：y²=8x相交于A、B两点，F为C的焦点，若|FA|=2|FB|，则k=（ ）

A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F的直线与抛物线相交于M，N两点，自M，N向准线l作垂线，垂足分别为M₁，N₁，则∠M₁FN₁等于（ ）
A．45°
B．60°
C．90°
D．120°

二、填空题

6. 难度：中等

抛物线顶点在坐标原点，以y轴为对称轴，过焦点且与y轴垂直的弦长为16，则抛物线方程为    ．

7. 难度：中等

已知O为坐标原点，F为抛物线y²=4x的焦点，A是抛物线上一点，若•=-4，则点A的坐标是    ．

8. 难度：中等

边长为1的等边三角形AOB，O为原点，AB⊥x轴，以O为顶点，且过A，B的抛物线方程是    ．

9. 难度：中等

设已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F（1，0），直线l与抛物线C相交于A，B两点．若AB的中点为（2，2），则直线ι的方程为    ．

10. 难度：中等

求适合下列条件的抛物线的标准方程：
（1）顶点在原点，对称轴为坐标轴，顶点到准线的距离为4；
（2）顶点是双曲线16x²-9y²=144的中心，准线过双曲线的左顶点，且垂直于坐标轴．

三、解答题

11. 难度：中等

已知顶点在坐标原点，焦点在x轴上的抛物线被直线y=2x+1截得的弦长为，求此抛物线方程．

12. 难度：中等

如图，已知△AOB的一个顶点为抛物线y²=2x的顶点O，A、B两点都在抛物线上，且∠AOB=90°．
（1）证明直线AB必过一定点；
（2）求△AOB面积的最小值．