2011-2012学年黑龙江省大庆市铁人中学高二（下）第一次段考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

对任意复数z=x+yi（x，y∈R），i为虚数单位，则下列结论正确的是（ ）
A．|z-|=2y
B．z²=x²+y²
C．|z-|≥2
D．|z|≤|x|+|y|

2. 难度：中等

函数f（x）的图象如图，f′（x）是f（x）的导函数，则下列数值排列正确的是（ ）
A．0＜f′（2）＜f′（3）＜f（3）-f（2）
B．0＜f′（3）＜f（3）-f（2）＜f′（2）
C．0＜f′（3）＜f′（2）＜f（3）-f（2）
D．0＜f（3）-f（2）＜f′（2）＜f′（3）

3. 难度：中等

已知命题p：复数，i是虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于第一象限；命题q：函数f（x）在[a，b]上单调递增，则则下列命题为真命题的是（ ）
A．p∧q
B．￢p∧q
C．p∧￢q
D．￢p∨￢q

4. 难度：中等

将y=f（x）和它的导函数y=f′（x）的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

设0＜a＜b，且f（x）=e^-x+e^x，则下列大小关系式成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

函数（ ）
A．在处取到最小值，无最大值
B．在处取到最小值，无最大值
C．在处取到最大值，无最小值
D．在处取到最大值，无最小值

7. 难度：中等

下列不等式恒成立的是（ ）
①e^x≥1+x
②sinx＜x，x∈[0，π）
③nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ，n∈N^*
④．
A．②③
B．①④
C．②④
D．①③

8. 难度：中等

设a∈R，若函数y=e^ax+3x，x∈R有大于零的极值点，则（ ）
A．a＞-3
B．a＜-3
C．a＞-
D．a＜-

9. 难度：中等

已知不等式对一切大于1的自然数n都成立，则a的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．（-∞，0]

10. 难度：中等

已知f（x）=x³-3x+m，在区间[0，2]上任取三个数a，b，c，均存在以f（a），f（b），f（c）为边长的三角形，则m的取值范围是（ ）
A．m＞2
B．m＞4
C．m＞6
D．m＞8

11. 难度：中等

若自然数n使得作加法n+（n+1）+（n+2）运算不产生进位现象，则称n为“给力数”，如：32是“给力数”，23不是给力数．设小于1000的所有“给力数”的各个数位上的数字组成集合A，则用集合A的数字组成的无重复数字的最大偶数是（ ）
A．312
B．3210
C．4312
D．43210

12. 难度：中等

已知抛物线C：y=2x²上的点A（-1，2），直线l₁过点A且与抛物线相切．直线l₂：x=a（a＞-1）交抛物线于点B，交直线l₁于点D，记△ABD的面积为S₁，抛物线和直线l₁，l₂所围成的图形面积为S₂，则S₁：S₂=（ ）
A．2：1
B．3：2
C．4：3
D．随a的值而变化

二、填空题

13. 难度：中等

计算：=    ．

14. 难度：中等

已知，则f′（1）的值为    ．

15. 难度：中等

在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M为AB的中点，则点C到平面A₁MD的距离为    ．

16. 难度：中等

以下说法正确的是    ．
①lg9•lg11＞1．
②用数学归纳法证明“”在验证n=1时，左边=1．
③已知f（x）是R上的增函数，a，b∈R，则f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）的充要条件是a+b≥0．
④用分析法证明不等式的思维是从要证的不等式出发，逐步寻找使它成立的充分条件．

三、解答题

17. 难度：中等

△ABC的内角为A，B，C，所对的三边分别是a，b，c．若 a，b，c的倒数成等差数列，
（Ⅰ）求证
（Ⅱ）若A，B，C也成等差数列，求证△ABC为等边三角形．

18. 难度：中等

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BC=2AA₁，∠ABC=90°，D是BC的中点．
（Ⅰ）求证：A₁B∥平面ADC₁；
（Ⅱ）求二面角C₁-AD-C的余弦值；
（Ⅲ）试问线段A₁B₁上是否存在点E，使AE与DC₁成60°角？若存在，确定E点位置，若不存在，说明理由．

19. 难度：中等

已知函数
（Ⅰ）若f（x）在[1，e]上的最小值为，求a的值；
（Ⅱ）若f（x）＜x²在（1，+∞）上恒成立，求a的取值范围．

20. 难度：中等

数列{a_n}满足S_n=2n-a_n（n∈N）
（Ⅰ）计算a₁，a₂，a₃，a₄；
（Ⅱ）猜想通项公式a_n，并用数学归纳法证明．

21. 难度：中等

设
（1）求|z₁|的值以及z₁的实部的取值范围；
（2）若，求证：ω为纯虚数．

22. 难度：中等

已知函数f（x）=（x³+3x²+ax+b）e^-x．
（1）如a=b=-3，求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）在（-∞，α），（2，β）单调增加，在（α，2），（β，+∞）单调减少，证明：β-α＜6．