《3.3 排序不等式》2013年同步练习（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

若a₁≤a₂≤…≤a_n，而b₁≥b₂≥…≥b_n或a₁≥a₂≥…≥a_n而b₁≤b₂≤…≤b_n，证明：≤（）•（）．当且仅当a₁=a₂=…=a_n或b₁=b₂=…=b_n时等号成立．

2. 难度：中等

设a₁，a₂，…，a_n为实数，证明：≤．

3. 难度：中等

设a₁，a₂，…，a_n为正数，求证：++…++≥a₁+a₂+…+a_n．

4. 难度：中等

设A、B、C表示△ABC的三个内角的弧度数，a，b，c表示其对边，求证：≥．

5. 难度：中等

设a，b，c为正数，利用排序不等式证明a³+b³+c³≥3abc．

6. 难度：中等

设a，b，c是正实数，求证：a^ab^bc^c≥（abc）．

7. 难度：中等

设x_i，y_i （i=1，2，…，n）是实数，且x₁≥x₂≥…≥x_n，y₁≥y₂≥…≥y_n，而z₁，z₂，…，z_n是y₁，y₂，…，y_n的一个排列．求证：（x_i-y_i）²≥（x_i-z_i）²．

8. 难度：中等

已知a，b，c为正数，且两两不等，求证：2（a³+b³+c³）＞a²（b+c）+b²（a+c）+c²（a+b）．