《3.2 立体几何中的向量方法》2013年同步练习3（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若平面α的法向量为，直线l的方向向量为，直线l与平面α的夹角为θ，则下列关系式成立的是（ ）
A．cosθ=
B．cosθ=
C．sinθ=
D．sinθ=

2. 难度：中等

设直线l与平面α相交，且l的方向向量为，α的法向量为，若＜，＞=，则l与α所成的角为（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

三棱锥A-BCD中，平面ABD与平面BCD的法向量分别为，，若＜，＞=，则二面角A-BD-C的大小为（ ）
A．
B．
C．或
D．或

4. 难度：中等

在矩形ABCD中，AB=1，BC=，PA⊥面ABCD，PA=1，则PC与面ABCD所成的角是（ ）
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°

5. 难度：中等

如图所示，已知点P为菱形ABCD外一点，且PA⊥面ABCD，PA=AD=AC，点F为PC中点，则二面角CBFD的正切值为（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题

6. 难度：中等

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M是C₁C的中点，O是底面ABCD的中心，P是A₁B₁上的任意点，则直线BM与OP所成的角为    ．

7. 难度：中等

已知点A（1，0，0），B（0，2，0），C（0，0，3）则平面ABC与平面xOy所成锐二面角的余弦值为    ．

8. 难度：中等

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，直线BC₁与平面A₁BD所成角的余弦值是    ．

9. 难度：中等

正△ABC与正△BCD所在平面垂直，则二面角ABDC的正弦值为    ．

三、解答题

10. 难度：中等

如图所示，三棱柱OAB-O₁A₁B₁中，平面OBB₁O₁⊥平面OAB，∠O₁OB=60°，∠AOB=90°，且OB=OO₁=2，OA=，求异面直线A₁B与AO₁所成角的余弦值的大小．

11. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=AB=2BC，M、N分别为PC、PB的中点．
（Ⅰ）求证：PB⊥DM；
（Ⅱ）求CD与平面ADMN所成的角．

12. 难度：中等

如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，∠BCF=∠CEF=90°，AD=．
（Ⅰ）求证：AE∥平面DCF；
（Ⅱ）当AB的长为何值时，二面角A-EF-C的大小为60°？