2010-2011学年广东省佛山市高二（上）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

双曲线-=1的渐近线方程为（ ）
A．y=±
B．y=±
C．y=±
D．y=±

2. 难度：中等

已知命题￢P：∀x∈R，x²＞0，则命题P是（ ）
A．∃x∈R，x²＜0
B．∃x∉R，x²＜0
C．∃x∈R，x²≤0
D．∃x∉R，x²≤0

3. 难度：中等

若空间向量=（2x，1，3）与=（1，-2y，9）为共线向量，则（ ）
A．x=-，y=
B．x=，y=-
C．x=，y=-
D．x=1，y=1

4. 难度：中等

已知命题p：圆（x-1）²+（y-2）²=1的面积被直线x+y=3平分； q：直线x-2y-1=0的斜率为，则（ ）
A．p∨q为假命题
B．（￢p）∨q为真命题
C．p∧（-q）为真命题
D．（￢p）∧（￢q）为真命题

5. 难度：中等

设x是实数，则“x＞0”是“|x|＞0”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

6. 难度：中等

若直线l与直线y=1，x=7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为（1，-1），则直线l的斜率为（ ）
A．-
B．
C．-
D．

7. 难度：中等

已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题中不正确的是（ ）
A．若 m∥n，m⊥α，n⊥β，则α∥β
B．若m∥α，a∩β=n，则m∥n
C．若m⊥α，α∥β，则m⊥β
D．若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β

8. 难度：中等

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为BC中点，则异面直线C₁E与CD₁所成角的余弦值为（ ）
A．-
B．-
C．
D．

9. 难度：中等

设F是抛物线C₁：y²=2px（p＞0）的焦点，点A是抛物线与双曲线C₂：的一条渐近线的一个公共点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为（ ）
A．2
B．
C．
D．

10. 难度：中等

若椭圆或双曲线上存在点P，使得点P到两个焦点的距离之比为2：1，则称此椭圆或双曲线存在“Ω点”，下列曲线中存在“Ω点”的是（ ）
A．+=1
B．+=1
C．x²-y²=1
D．x²-=1

二、填空题

11. 难度：中等

若直线l经过点A（-3，4），且在坐标轴上截距互为相反数，则直线l的方程为    ．

12. 难度：中等

已知从点P（-3，2）发出的光线经X轴反射后的光线恰好经过圆（x-1）²+（y-2）²=1的圆心，则反射点的坐标为    ．

13. 难度：中等

若某几何体的三视图 （单位：cm） 如图所示，则此几何体的体积是    cm³．

14. 难度：中等

动点P在直线2x+y=0上运动，过P作圆（x-3）²+（y-4）²=4的切线，切点为Q，则|PQ|的最小值为    ．

三、解答题

15. 难度：中等

已知△ABC的顶点坐标为A（4，0）、B（0，2）、C（3，3）．
（Ⅰ） 求AB边上的高线所在的直线方程；      
（Ⅱ） 求△ABC的面积．

16. 难度：中等

长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，AA₁=AD=4，点E为AB中点．
（Ⅰ） 求证：BD₁∥平面A₁DE；
（Ⅱ） 求证：A₁D⊥平面ABD₁；
（Ⅲ） 求点B到面A₁DE的距离．

17. 难度：中等

已知圆C：x²+y²+4x=0，相互垂直的两条直线l₁、l₂都过点A（t，0）．
（Ⅰ）若圆心为M（，m）的圆和圆C外切且与直线x=2相切，求圆M的方程；
（Ⅱ）若l₁、l₂截圆C所得的弦长均为，求t的值．

18. 难度：中等

如图，A地在B地东偏北45°方向相距2km处，B地与东西走向的高铁线（近似看成直线）l相距4km．已知曲线形公路PQ上任意一点到B地的距离等于到高铁线l的距离，现要在公路旁建造一个变电房M（变电房与公路之间的距离忽略不计）分别向A地、B地送电．
（Ⅰ）试建立适当的直角坐标系求环形公路PQ所在曲线的轨迹方程；
（Ⅱ）问变电房M应建在相对A地的什么位置（方位和距离），才能使得架设电路所用电线长度最短？并求出最短长度．

19. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，△PAD是边长为2的等边三角形，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AB=BC=1，E为CD中点．
（Ⅰ）求证：平面PAB⊥平面PAD；
（Ⅱ）求二面角P-AE-B的正弦值．

20. 难度：中等

如图，椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点是F（1，0），0为坐标原点．
（Ⅰ）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；
（Ⅱ）点M是直线l：x=4上的动点，以OM为直径的圆过点N，且NF⊥OM，是否存在一个定点，使得N到该定点的距离为定值？并说明理由．