2011-2012学年吉林省吉林市高三（上）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A={x|x＞1}，则（C_RA）∩N的子集有（ ）
A．1个
B．2个
C．4个
D．8个

2. 难度：中等

已知α是第四象限角，且，则tanα=（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

下列函数中，在区间（0，1）上为增函数的是（ ）
A．
B．
C．y=sin
D．y=x²-

4. 难度：中等

圆x²+y²-6x=0过点（4，2）的最短弦所在直线的斜率为（ ）
A．2
B．-2
C．
D．

5. 难度：中等

一个正方体的展开图如图所示，A、B、C、D为原正方体的顶点，则在原来的正方体中（ ）

A．AB∥CD
B．AB与CD相交
C．AB⊥CD
D．AB与CD所成的角为60°

6. 难度：中等

某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，抽取了总成绩介于350分到650分之间的10000名学生成绩，并根据这10000名学生的总成绩画了样本的频率分布直方图．为了进一步分析学生的总成绩与各科成绩等方面的关系，要从这10000名学生中，再用分层抽样方法抽出200人作进一步调查，则总成绩在[400，500）内共抽出（ ）

A．100人
B．90人
C．65人
D．50人

7. 难度：中等

执行如图所示的程序框图，输出的M的值为（ ）

A．17
B．53
C．161
D．485

8. 难度：中等

设函数f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意x∈R都有f（x）=f（x+4），当x∈（0，2）时，f（x）=2^x，则f（2012）-f（2011）的值为（ ）
A．2
B．-2
C．
D．

9. 难度：中等

为了得到函数的图象，只需将函数y=cos2x的图象（ ）
A．向左平移个长度单位
B．向右平移个长度单位
C．向左平移个长度单位
D．向右平移个长度单位

10. 难度：中等

已知函数f（x）=x³+ax²+x+2（a＞0）的极大值点和极小值点都在区间（-1，1）内，则实数a的取值范围是（ ）
A．（0，2]
B．（0，2）
C．[，2）
D．

11. 难度：中等

有下列四个命题：
①函数y=10^-x和函数y=10^x的图象关于x轴对称；
②所有幂函数的图象都经过点（1，1）；
③曲线y=x²与y²=x所围成的图形的面积是；
④若{a_n}是首项大于零的等比数列，则“a₁＜a₂”是“数列{a_n}是递增数列”的充要条件．
其中真命题的个数有（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

12. 难度：中等

过抛物线C：y²=4x的焦点F的直线l交抛物线C于P，Q两点，若点P关于x轴对称的点为M，则直线QM的方程可能为（ ）
A．3x+2y+3=0
B．3x-5y+6=0
C．2x+3y+4=0
D．x-2y+1=0

二、填空题

13. 难度：中等

i是虚数单位，若复数z=（m²-1）+（m-1）i为纯虚数，则实数m的值为    ．

14. 难度：中等

已知a＞0，b＞0，且满足a+b=3，则的最小值为    ．

15. 难度：中等

如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的表面积是    ．

16. 难度：中等

已知以为渐近线的双曲线的左、右焦点分别为F₁、F₂，若P为双曲线D右支上任意一点，则的取值范围是    ．

三、解答题

17. 难度：中等

记不等式组表示的平面区域为M．
（Ⅰ）画出平面区域M，并求平面区域M的面积；
（Ⅱ）若点（a，b）为平面区域M中任意一点，求直线y=ax+b的图象经过一、二、四象限的概率．

18. 难度：中等

在某海岸A处，发现北偏东30°方向，距离A处n mile的B处有一艘走私船在A处北偏西15°的方向，距离A处n mile的C处的缉私船奉命以n mile/h的速度追截走私船．此时，走私船正以5n mile/h的速度从B处按照北偏东30°方向逃窜，问缉私船至少经过多长时间可以追上走私船，并指出缉私船航行方向．

19. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，底面ABCD为矩形，AD=2AB=2PA，E为PD的上一点，且PE=2ED，F为PC的中点．
（Ⅰ）求证：BF∥平面AEC；
（Ⅱ）求二面角E-AC-D的余弦值．

20. 难度：中等

数列{a_n}各项均为正数，其前n项和为S_n，且满足．
（Ⅰ）求证数列为等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列{b_n}的前n项和T_n，并求使对所有的n∈N^*都成立的最大正整数m的值．

21. 难度：中等

如图，焦距为2的椭圆E的两个顶点分别为A和B，且与共线．
（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；
（Ⅱ）若直线y=kx+m与椭圆E有两个不同的交点P和Q，且原点O总在以PQ为直径的圆的内部，求实数m的取值范围．

22. 难度：中等

设函数．
（Ⅰ）当a=1时，过原点的直线与函数f（x）的图象相切于点P，求点P的坐标；
（Ⅱ）当时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）当时，设函数，若对于∀x₁∈（0，e]，∃x₂∈[0，1]使f（x₁）≥g（x₂）成立，求实数b的取值范围．（e是自然对数的底，）