2011-2012学年江苏省无锡市滨湖区梅村高级中学高三（上）11月月考数学试卷（理科）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

选修4-2：（矩阵与变换）
已知a，b∈R，若矩阵M=所对应的变换把直线l：2x-y=3变换为自身，求a，b的值．

2. 难度：中等

如图所示，在直角梯形OABC中，，OA=OS=AB=1，OC=2，点M是棱SB的中点，N是OC上的点，且ON：NC=1：3．
（1）求异面直线MN与BC所成的角；
（2）求MN与面SAB所成的角．

3. 难度：中等

一投掷飞碟的游戏中，飞碟投入红袋记2分，投入蓝袋记1分，未投入袋记0分．经过多次试验，某人投掷100个飞碟有50个入红袋，25个入蓝袋，其余不能入袋．
（1）求该人在4次投掷中恰有三次投入红袋的概率；
（2）求该人两次投掷后得分ξ的数学期望Eξ．

4. 难度：中等

设r，s，t为整数，集合{a|a=2^r+2^s+2^t，0≤t＜s＜r}中的数由小到大组成数列{a_n}．
（1）写出数列{a_n}的前三项；
（2）求a₃₆．

二、填空题

5. 难度：中等

复数（1+2i）²的共轭复数是    ．

6. 难度：中等

已知集合，集合，则集合A∪B中所有元素之和为    ．

7. 难度：中等

若圆锥的侧面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为    ．

8. 难度：中等

已知直线m⊥平面α，直线n在平面β内，给出下列四个命题：①α∥β⇒m⊥n；②α⊥β⇒m∥n；③m⊥n⇒α∥β；④m∥n⇒α⊥β，其中真命题的序号是    ．

9. 难度：中等

△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a=5，b=7，B=60°，则c=    ．

10. 难度：中等

设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最小值是    ．

11. 难度：中等

已知点P在曲线y=上，a为曲线在点P处的切线的倾斜角，则a的取值范围是    ．

12. 难度：中等

《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为    升．

13. 难度：中等

双曲线上一点M到它的右焦点的距离是3，则点M的横坐标是    ．

14. 难度：中等

设若存在互异的三个实数x₁，x₂，x₃，使f（x₁）=f（x₂）=f（x₃），则x₁+x₂+x₃的取值范围是    ．

15. 难度：中等

在△ABC中，已知BC=2，=1，则△ABC面积的最大值是    ．

16. 难度：中等

已知{a_n}是公差不为0的等差数列，{b_n} 是等比数列，其中a₁=2，b₁=1，a₂=b₂，2a₄=b₃，且存在常数α、β，使得a_n=log_αb_n+β对每一个正整数n都成立，则α^β=    ．

17. 难度：中等

已知函数f（x）=|x²-2|，若f（a）≥f（b），且0≤a≤b，则满足条件的点（a，b）所围成区域的面积为    ．

18. 难度：中等

设函数f（x）的定义域为D，若存在非零实数l使得对于任意x∈M（M⊆D），有x+t∈D，且f（x+t）≥f（x），则称f（x）为M上的t高调函数．如果定义域为R的函数f（x）是奇函数，当x≥0时，f（x）=|x-a²|-a²，且f（x）为R上的4高调函数，那么实数a的取值范围是    ．

三、解答题

19. 难度：中等

已知函数f（x）=，其中=（2sinωx，-1），，ω＞0，f（x）的图象与直线y=-2的交点的横坐标成公差为π的等差数列．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若在△ABC中，A=，b+c=3，F（A）=2，求△ABC的面积．

20. 难度：中等

如图，四棱锥S-ABCD中，M是SB的中点，AB∥CD，BC⊥CD，且AB=BC=2，CD=SD=1，又SD⊥面SAB．
（1）证明：CD⊥SD；
（2）证明：CM∥面SAD；
（3）求四棱锥S-ABCD的体积．

21. 难度：中等

如图，设P是圆x²+y²=2上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为线段PD上一点，|PD|=|MD|．点A（0，）、F₁（-1，0）．
（1）设在x轴上存在定点F₂，使|MF₁|+|MF₂|为定值，试求F₂的坐标，并指出定值是多少？
（2）求|MA|+|MF₁|的最大值，并求此时点M的坐标．

22. 难度：中等

如图，开发商欲对边长为1km的正方形ABCD地段进行市场开发，拟在该地段的一角建设一个景观，需要建一条道路EF（点E、F分别在BC、CD上），根据规划要求△ECF的周长为2km．
（1）设∠BAE=α，∠DAF=β，试求α+β的大小；
（2）欲使△EAF的面积最小，试确定点E、F的位置．

23. 难度：中等

对于三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）．
定义：（1）设f''（x）是函数y=f（x）的导数y=f'（x）的导数，若方程f''（x）=0有实数解x，则称点（x，f（x））为函数y=f（x）的“拐点”；
定义：（2）设x为常数，若定义在R上的函数y=f（x）对于定义域内的一切实数x，都有f（x+x）+f（x-x）=2f（x）成立，则函数y=f（x）的图象关于点（x，f（x））对称．
已知f（x）=x³-3x²+2x+2，请回答下列问题：
（1）求函数f（x）的“拐点”A的坐标
（2）检验函数f（x）的图象是否关于“拐点”A对称，对于任意的三次函数写出一个有关“拐点”的结论（不必证明）
（3）写出一个三次函数G（x），使得它的“拐点”是（-1，3）（不要过程）

24. 难度：中等

已知集合A={x|x²+a≤（a+1）x，a∈R}．
（1）是否存在实数a，使得集合A中所有整数的元素和为28？若存在，求出符合条件的a，若不存在，请说明理由．
（2）若以a为首项，a为公比的等比数列前n项和记为S_n，对于任意的n∈N₊，均有S_n∈A，求a的取值范围．