2011-2012学年湖南省张家界市桑植一中高三（上）第一次月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设实数a∈R且（a-i）•i（其中i是虚数单位）为正实数，则a的值为（ ）
A．-1
B．0
C．0或-1
D．1

2. 难度：中等

函数图象的对称轴方程可以是（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

已知向量、满足，且，则=（ ）
A．10
B．20
C．21
D．30

4. 难度：中等

“a=1”是“直线x+y=0和直线x-ay=0互相垂直”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

5. 难度：中等

执行右面的程序框图，输出的S值为（ ）

A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

若不等式对于一切非零实数x均成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．[-1，1]
B．（-1，1）
C．（-2，2）
D．[-2，2]

7. 难度：中等

直线y=kx+3与圆（x-3）²+（y-2）²=4相交于M，N两点，若，则k的取值范围是（ ）
A．[-，0]
B．
C．[-]
D．[-，0]

8. 难度：中等

定义方程f（x）=f′（x）的实数根x叫做函数f（x）的“新驻点”，如果函数g（x）=x，h（x）=lnx，φ（x）=cosx（x∈（，π））的“新驻点”分别为α，β，γ，那么α，β，γ的大小关系是（ ）
A．α＜β＜γ
B．α＜γ＜β
C．γ＜α＜β
D．β＜α＜γ

二、填空题

9. 难度：中等

（参数方程与极坐标选讲）在极坐标系中，圆C的极坐标方程为：ρ²+2ρcosθ=0，点P的极坐标为，过点P作圆C的切线，则两条切线夹角的正切值是    ．

三、解答题

10. 难度：中等

（几何证明选讲）如图，已知PA是圆O的切线，切点为A，直线PO交圆O于B，C两点，AC=2，∠PAB=120°，则圆O的面积为______．

四、填空题

11. 难度：中等

（优选法选讲）用0.618法对某一试验进行优选，存优范围是[2000，8000]，则第二个试点x₂是    ．

12. 难度：中等

设集合A={4，5，7}，B={3，4，7，8}全集U=A∪B，则集合C_∪（A∩B），=    ．

13. 难度：中等

已知平面区域Ω={（x，y）|x²+y²≤1}，，若在区域Ω上随机投一点P，则点P落在区域M的概率为：    ．

14. 难度：中等

设函数f（x）=x^m+ax的导函数f′（x）=2x+1，则的值等于    ．

15. 难度：中等

已知不等式x²-6x+a（6-a）＜0的解集中恰有三个整数，则实数a的取值范围为    ．

16. 难度：中等

设a₁，a₂，…，a_n 是1，2，…，n 的一个排列，把排在a_i 的左边且比a_i 小的数的个数称为a_i 的顺序数（i=1，2，…，n）．如在排列6，4，5，3，2，1中，5的顺序数为1，3的顺序数为0．则在由1、2、3、4、5、6、7、8这八个数字构成的全排列中，同时满足8的顺序数为2，7的顺序数为3，5的顺序数为3的不同排列的种数为    ．（结果用数字表示）

五、解答题

17. 难度：中等

已知函数f（x）=sin（ωx+ϕ）（ω＞0，0≤ϕ≤π）为偶函数，其图象上相邻的两个最高点之间的距离为2π．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若，求的值．

18. 难度：中等

一个口袋内有5个白球和3个黑球，任意取出一个，如果是黑球，则这个黑球不放回且另外放入一个白球，这样继续下去，直到取出的球是白球为止．求取到白球所需的次数ξ的概率分布列及期望．

19. 难度：中等

如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，E、F分别是AB，PD的中点．
（Ⅰ）求证：AF∥平面PCE；
（Ⅱ）若PA=AD且AD=2，CD=3，求P-CE-A的正切值．

20. 难度：中等

某地需要修建一条大型输油管道通过120公里宽的沙漠地带，该段输油管道两端的输油站已建好，余下工程只需要在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站（又称泵站）．经预算，修建一个增压站的工程费用为432万元，铺设距离为x公里的相邻两增压站之间的输油管道费用为x³+x万元．设余下工程的总费用为y万元．
（1）试将y表示成关于x的函数；
（2）需要修建多少个增压站才能使y最小？

21. 难度：中等

已知点P（3，0），点A、B分别在x轴负半轴和y轴上，且•=0，点C满足=2，当点B在y轴上移动时，记点C的轨迹为E．
（1）求曲线E的方程；
（2）过点Q（1，0）且斜率为k的直线l交曲线E于不同的两点M、N，若D（-1，0），且•＞0，求k的取值范围．

22. 难度：中等

已知函数f（x）=ax+xlnx的图象在点x=e（e为自然对数的底数）处的切线斜率为3．
（1）求实数a的值；
（2）若k∈Z，且对任意x＞1恒成立，求k的最大值；
（3）当n＞m≥4时，证明（mnⁿ）^m＞（nm^m）ⁿ．