2009-2010学年浙江省宁波市余姚中学高三（上）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

1．已知集合A={y|y=log₂x，x＞1}，B={y|0＜y＜}，则A∩B=（ ）
A．{y|0＜y＜}
B．{y|0＜y＜1}
C．{y|＜y＜1}
D．∅

2. 难度：中等

将函数y=sin2x的图象按向量（）平移后得到的图象对应的函数解析式是（ ）
A．y=cos2x+1
B．y=-cos2x+1
C．y=sin2x+1
D．y=-sin2x+1

3. 难度：中等

定义在R上奇函数f（x），f（x+2）=，则f（2010）=（ ）
A．0
B．1
C．-1
D．2

4. 难度：中等

已知f（x）=a^x-2，g（x）=log_a|x|（a＞0且a≠1），若f（4）•g（-4）＜0，则y=f（x），y=g（x）在同一坐标系内的大致图象是（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

在△ABC中，2cos² =3cos（A+B）+1，且tanA+tanB=，则∠C=（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

若f（x）是定义在R上的偶函数，在（-∞，0]上是减函数，且f（2）=0，则使得f（log₂x）＜0的x的取值范围是（ ）
A．（0，4）
B．（4，+∞）
C．（0，）∪（4，+∞）
D．（，4）

7. 难度：中等

，＜＞=，且（）（）=，则||取值范围（ ）
A．[-，]
B．[0，]
C．（0，]
D．[0，]

8. 难度：中等

定义：若存在常数k，使得对定义域D内的任意两个不同的实数x₁，x₂，均有|f（x₁）-f（x₂）|≤k（x₁-x₂|成立，则称函数f（x）在定义域D上满足利普希茨条件．对于函数f（x）=（x≥1）满足利普希茨条件，则常数k的最小值应是（ ）
A．2
B．1
C．
D．

9. 难度：中等

用砖砌墙，第一层（底层）用去了全部砖块的一半多一块，第二层用去了剩下的一半多一块，…，依此类推，每一层都用去了前一层剩下的一半多一块，如果到第9层恰好砖用光．那么，共用去的砖块数为（ ）
A．1022
B．1024
C．1026
D．1028

10. 难度：中等

f（x）=sinx，x∈（0，π），方程f²（x）+2f（x）+a=0，（a∈R），实根个数可为（ ）
A．0
B．0，1
C．0，2
D．0，1，2

二、填空题

11. 难度：中等

等比数列a₁，a₂，a₃，a₄，公比q＞1，若删去其中一项成等差，则q=    ．

12. 难度：中等

在△ABC中，AB=-，C=30°，则AC+BC的最大值是    ．

13. 难度：中等

若数列{a_n}满足（n∈N^*，d为常数），则称数列{a_n}为调和数列．记数列为调和数列，且x₁+x₂+…+x₂₀=200，则x₅+x₁₆=    ．

14. 难度：中等

F（x）=Asin的图象如图，f（x）=Asin（ωx+φ），（A＞0，0＜φ＜π）图象如图，则f（x）=    ．

15. 难度：中等

若电灯B可在过桌面上一点O且垂直于桌面的垂线上移动，桌面上有与点O距离为a的另一点A，问电灯与点0的距离    ，可使点A处有最大的照度？（∠BAO=φ，BA=r，照度与sinφ成正比，与r²成反比）

16. 难度：中等

等差数列{a_n}，{b_n}前n项和分别为A_n，B_n，若 （n∈N⁺）且B₂=20，则a_n=    ．

17. 难度：中等

f（x）= 在R上递减，则a应满足    ．

三、解答题

18. 难度：中等

已知函数+cos2x+a（a∈R，a为常数）．
（I）求函数的最小正周期；
（II）求函数的单调递减区间；
（III）若时，f（x）的最小值为-2，求a的值．

19. 难度：中等

如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥AB，AD=1，BC=2，AB=3，P是AB上的一个动点，∠CPB=α，∠DPA=β．
（Ⅰ）当最小时，求tan∠DPC的值；
（Ⅱ）当∠DPC=β时，求的值．

20. 难度：中等

已知正项数列{a_n} 满足S_n+Sn-1=ta_n²+2（n≥2，t＞0），a₁=1，其中S_n是数{a_n} 的前n项和．
（1）求a₂及通项a_n；
（2）记数列{}的前n项和为T_n，若T_n＜2对所有的n∈N⁺都成立，求证：0＜t≤1．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=x³+3ax-1，g（x）=f′（x）-ax-5，其中f′（x）是的f（x）的导函数．
（Ⅰ）对满足-1≤a≤1的一切a的值，都有g（x）＜0，求实数x的取值范围；
（Ⅱ）设a=-m²，当实数m在什么范围内变化时，函数y=f（x）的图象与直线y=3只有一个公共点．

22. 难度：中等

已知函数y=f（x），x∈N^*，y∈N^*，满足：①对任意a，b∈N^*，a≠b，都有af（a）+bf（b）＞af（b）+bf（a）；②对任意n∈N^*都有f[f（n）]=3n．
（I）试证明：f（x）为N^*上的单调增函数；
（II）求f（1）+f（6）+f（28）；
（III）令a_n=f（3ⁿ），n∈N^*，试证明：.．