2012-2013学年天津市河西区高二（下）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数（i为虚数单位）的虚部是（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax²+bx+c=0有有理根，那么a，b，c存在偶数”时，否定结论应为（ ）
A．a，b，c都是偶数
B．a，b，c都不是偶数
C．a，b，c中至多一个是偶数
D．a，b，c中至多有两个是偶数

3. 难度：中等

设函数f（x）=x²-1，当自变量x由1变到1.1时，函数的平均变化率是（ ）
A．2.1
B．0.21
C．1.21
D．12.1

4. 难度：中等

“金导电、银导电、铜导电、铁导电，所以一切金属都导电”．此推理方法是（ ）
A．完全归纳推理
B．类比推理
C．归纳推理
D．演绎推理

5. 难度：中等

函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极小值点的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

6. 难度：中等

函数f（x）=sinx+x在[0，2π]上的最大值为（ ）
A．0
B．2
C．π
D．2π

7. 难度：中等

如图，由曲线y=x²-1，直线x=0，x=2和x轴围成的封闭图形的面积为（ ）

A．
B．1
C．2
D．3

8. 难度：中等

函数f（x）的定义域为R，f（-1）=2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（ ）
A．（-1，1）
B．（-1，+∞）
C．（-∞，-l）
D．（-∞，+∞）

二、填空题

9. 难度：中等

=    ．

10. 难度：中等

比较大小：    （用“＞”或“＜”符号填空）．

11. 难度：中等

计算=    ．

12. 难度：中等

若f（x）=-x²+bln（x+2）在（-1，+∞）上是减函数，则b的取值范围是    ．

13. 难度：中等

已知等差数列{a_n}中，有=成立．类似地，在等比数列{b_n}中，有     成立．

14. 难度：中等

对于非零实数a，b，以下四个命题都成立：
①；②（a+b）²=a²+2ab+b²；
③若|a|=|b|，则a=±b；④若a²=ab，则a=b．
那么，对于非零复数a，b，仍然成立的命题的所有序号是    ．

三、解答题

15. 难度：中等

设复数z满足|z|=1，且（3+4i）•z是纯虚数，且复数z对应的点在第一象限．
（I）求复数z；
（II）求的值．

16. 难度：中等

设a≥b＞0，求证：3a³+2b³≥3a²b+2ab²．

17. 难度：中等

已知曲线f（x）=2x²+a（x≥0）与曲线相切于点P，且在点P处有相同的切线l，求切线l的方程．

18. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和为S_n满足，且
（I）试求出S₁，S₂，S₃的值；
（Ⅱ）根据S₁，S₂，S₃的值猜想出S_n关于n的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．

19. 难度：中等

已知函数f（x）满足．
（Ⅰ）求f（x）的解析式：
（Ⅱ）求f（x）的单调区间．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=x²-ax+a（a∈R）的图象与x轴相切，且在定义域内存在0＜x₁＜x₂，使得不等式f（x₁）＞f（x₂）成立．
（I）求函数f（x）的表达式；
（II）设函数g（x）=xf（x），求g（x）的极值；
（III）设函数h（x）=g（x）+x-k，当h（x）存在3个零点时，求实数k的取值范围．