2011-2012学年天津一中高二（上）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知椭圆的离心率为，焦点是（-3，0），（3，0），则椭圆方程为（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

若直线l₁：ax+3y+1=0与l₂：2x+（a+1）y+1=0互相平行，则a的值是（ ）
A．-3
B．2
C．-3或2
D．3或-2

3. 难度：中等

当a为任意实数时，直线（2a+3）x+y-4a+2=0恒过定点P，则过点P的抛物线的标准方程是（ ）
A．x²=32y或
B．x²=-32y或
C．y²=32x或
D．y²=-32x或

4. 难度：中等

设双曲线x²-y²=1的两条渐近线与直线x=围成的三角形区域（包含边界）为E，P（x，y）为该区域内的一个动点，则目标函数z=3x-2y的取值范围为（ ）
A．[]
B．[]
C．[]
D．[]

5. 难度：中等

已知直线l₁：4x-3y+6=0和直线l₂：x=-1，抛物线y²=4x上一动点P到直线l₁和直线l₂的距离之和的最小值是（ ）
A．2
B．3
C．
D．

6. 难度：中等

设F₁，F₂是双曲线x²-4y²=4a（a＞0）的两个焦点，点P在双曲线上，且满足，，则a的值为（ ）
A．2
B．
C．1
D．

7. 难度：中等

若双曲线（a＞0，b＞0）的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该双曲线的渐近线方程是（ ）
A．x±2y=0
B．2x±y=0
C．
D．

8. 难度：中等

已知抛物线y²=nx（n＜0）（m＜0）与椭圆=1有一个相同的焦点，则动点（m，n）的轨迹是（ ）
A．椭圆的一部分
B．双曲线的一部分
C．抛物线的一部分
D．直线的一部分

9. 难度：中等

若直线mx-ny=4与⊙O：x²+y²=4没有交点，则过点P（m，n）的直线与椭圆的交点个数是（ ）
A．至多为1
B．2
C．1
D．0

10. 难度：中等

已知双曲线的左、右焦点分别为F₁、F₂，若在双曲线的右支上存在一点P，使得|PF₁|=3|PF₂|，则双曲线的离心率e的取值范围为（ ）
A．[，+∞）
B．[2，+∞）
C．
D．（1，2]

二、填空题

11. 难度：中等

已知AB是过椭圆+=1左焦点F₁的弦，且|AF₂|+|BF₂|=12，其中F₂是椭圆的右焦点，则弦AB的长是    ．

12. 难度：中等

直线被圆x²+y²-4y=0所截得的弦长为    ．

13. 难度：中等

若表示双曲线，则m的取值范围是    ．

14. 难度：中等

已知F是抛物线C：y²=4x的焦点，过F且斜率为的直线交C于A，B两点．设|FA|＞|FB|，则的值等于    ．

15. 难度：中等

已知F₁，F₂是椭圆的两焦点，P为椭圆上一点，若∠F₁PF₂=60°，则离心率的最小值是    ．

16. 难度：中等

以下四个关于圆锥曲线的命题中
①设A、B为两个定点，k为非零常数，||-||=k，则动点P的轨迹为双曲线；
②设定圆C上一定点A作圆的动点弦AB，O为坐标原点，若=（+），则动点P的轨迹为椭圆；
③方程2x²-5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
④双曲线-=1与椭圆+y²=1有相同的焦点．
其中真命题的序号为    （写出所有真命题的序号）

三、解答题

17. 难度：中等

已知拋物线的顶点在原点，它的准线过双曲线-=1的一个焦点，并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直，拋物线与双曲线交于点P（，），求拋物线方程和双曲线方程．

18. 难度：中等

已知圆C以为圆心且经过原点O．
（1）若t=2，写出圆C的方程；
（2）在（1）的条件下，已知点B的坐标为（0，2），设P，Q分别是直线l：x+y+2=0和圆C上的动点，求|PB|+|PQ|的最小值及此时点P的坐标．

19. 难度：中等

已知点P是⊙O：x²+y²=9上的任意一点，过P作PD垂直x轴于D，动点Q满足．
（1）求动点Q的轨迹方程；
（2）已知点E（1，1），在动点Q的轨迹上是否存在两个不重合的两点M、N，使（O是坐标原点），若存在，求出直线MN的方程，若不存在，请说明理由．

20. 难度：中等

已知椭圆．过点（m，0）作圆x²+y²=1的切线I交椭圆G于A，B两点．
（I）求椭圆G的焦点坐标和离心率；
（Ⅱ）将|AB|表示为m的函数，并求|AB|的最大值．