2011-2012学年甘肃省兰州一中高二（上）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知二面角α-l-β的大小为60°，且m⊥α，n⊥β，则异面直线m，n所成的角为（ ）
A．30°
B．120°
C．90°
D．60°

2. 难度：中等

如果曲线C上的点满足F（x，y）=0，则下列说法正确的是（ ）
A．曲线C的方程是F（x，y）=0
B．方程F（x，y）=0的曲线是C
C．坐标满足方程F（x，y）=0的点在曲线C上
D．坐标不满足方程F（x，y）=0的点不在曲线C上

3. 难度：中等

若点M在平面ABC内，且满足（点O为空间任意一点），则抛物线y²=2px的准线方程是（ ）
A．x=-1
B．x=1
C．y=-1
D．y=1

4. 难度：中等

A、B两点到平面α的距离相等是直线AB∥平面α成立的（ ）
A．充分条件
B．必要条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件

5. 难度：中等

若且，则实数λ的值是（ ）
A．0
B．1
C．-1
D．2

6. 难度：中等

将曲线x²+y²=4上各点的纵坐标缩短到原来的（横坐标不变），所得曲线的方程是（ ）
A．
B．x²+4y²=4
C．
D．4x²+y²=4

7. 难度：中等

若，且与的夹角为钝角，则x的取值范围是（ ）
A．x＜-4
B．-4＜x＜0
C．0＜x＜4
D．x＞4

8. 难度：中等

双曲线的离心率为e，则e的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

已知，则的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

已知三个平面两两互相垂直且交于一点O，若空间一点P到这三个平面的距离分别为2，3，6，则OP 的长是（ ）
A．11
B．9
C．7
D．6

11. 难度：中等

抛物线y²=4x上一动点P到直线l₁：4x-3y+6=0和l₂：x=-1的距离之和的最小值是（ ）
A．2
B．3
C．
D．

12. 难度：中等

若x，y∈R，且x²+y²=1．当x+y+c=0时，c的最大值是（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

13. 难度：中等

在如图的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，直线AC₁与平面CB₁D₁所成的角为    ．

14. 难度：中等

过点M（0，2）且与双曲线仅有一个公共点的直线共有    条．

15. 难度：中等

命题“∃x∈R，2x²-3ax+9＜0”为假命题，则实数a的取值范围为    ．

16. 难度：中等

以下命题：
①在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它和这条斜线垂直；
②已知平面α，β的法向量分别为，则；
③两条异面直线所成的角为θ，则；
④直线与平面所成的角为φ，则0≤φ≤．
其中正确的命题是    （填上所有正确命题的序号）．

三、解答题

17. 难度：中等

已知直线l：y=2x-4被抛物线C：y²=2px（p＞0）截得的弦长．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）若抛物线C的焦点为F，求三角形ABF的面积．

18. 难度：中等

如图，正三棱柱底面边长为．
（1）若侧棱长为1，求证：AB₁⊥BC₁；
（2）若AB₁与BC₁成60°角，求侧棱长．

19. 难度：中等

在如图的长方体中，AD=AA₁=1，AB=2，点E在棱AB上移动．
（1）当E为AB的中点时，求点E到平面ACD₁的距离；
（2）AE等于何值时，二面角D₁-EC-D的大小为．

20. 难度：中等

已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的图过椭圆C的右顶点．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．