2012-2013学年江苏省淮安市金湖中学高三（上）期末数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

展开式中的常数项是    （用数字作答）．

2. 难度：中等

若p：（x-3）（|x|+1）＜0，q：|1-x|＜2，则p是q的     条件．（填“充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要”）

3. 难度：中等

将正整数排成下表：

则数表中的2008出现在第    行．

4. 难度：中等

定义在R上的函数f（x），其图象是连续不断的，如果存在非零常数λ（λ∈R，使得对任意的x∈R，都有f（x+λ）=λf（x），则称y=f（x）为“倍增函数”，λ为“倍增系数”，下列命题为真命题的是    （写出所有真命题对应的序号）．
①若函数y=f（x）是倍增系数λ=-2的倍增函数，则y=f（x）至少有1个零点；
②函数f（x）=2x+1是倍增函数，且倍增系数λ=1；
③函数是倍增函数，且倍增系数λ∈（0，1）；
④若函数f（x）=sin（2ωx）（ω＞0）是倍增函数，则．

5. 难度：中等

设函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，-＜φ＜），给出以下四个论断：
①f（x）的周期为π； ②f（x）在区间（-，0）上是增函数；
③f（x）的图象关于点（，0）对称；④f（x）的图象关于直线x=对称．
以其中两个论断作为条件，另两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：    ⇒    （只需将命题的序号填在横线上）．

6. 难度：中等

已知集合A={x|ax²-3x+2=0]至多有一个元素，则a的取值范围     ；若至少有一个元素，则a的取值范围     ．

7. 难度：中等

设不等式组在直角坐标系中所表示的区域的面积为S，则当k＞1时，的最小值为    ．

8. 难度：中等

下列四个命题中，真命题的序号有    （写出所有真命题的序号）．
①两个相互垂直的平面，一个平面内的任意一直线必垂直于另一平面内的无数条直线．
②圆x²+y²+4x+2y+1=0与直线y=x相交，所得弦长为2．
③若sin（α+β）=，sin（α-β）=，则tanαcotβ=5．
④如图，已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，P为底面ABCD内一动点，P到平面AA₁D₁D的距离与到直线CC₁的距离相等，则P点的轨迹是抛物线的一部分．

9. 难度：中等

函数y=log_a（x-1）+1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在一次函数y=mx+n的图象上，其中mn＞0，则的最小值为    ．

10. 难度：中等

若数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=），其前n项和为S_n，则=    ．

11. 难度：中等

把1，3，6，10，15，21，…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形（如图所示），则第七个三角形数是    ．

12. 难度：中等

已知函数f（x）=，则f（5）+f（4）+…+f（1）+f（）+…+f（）=    ．

13. 难度：中等

函数y=的定义域为    ．

14. 难度：中等

已知a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，在下列命题
①；②；③；④中，正确的命题是    （只填序号）．

二、解答题

15. 难度：中等

如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°．点E、F分别在边CD、CB上，点E与点C、D不重合，EF⊥AC，EF∩AC=O．沿EF将△CEF翻折到△PEF的位置，使平面PEF⊥平面ABFED．

（1）求证：BD⊥平面POA；
（2）设点Q满足，试探究：当PB取得最小值时，直线OQ与平面PBD所成角的大小是否一定大于？并说明理由．

16. 难度：中等

袋中装着标有数字1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等．用ξ表示取出的3个小球上的最大数字，求：
（1）取出的3个小球上的数字互不相同的概率；
（2）随机变量ξ的概率分布和数学期望；
（3）计分介于20分到40分之间的概率．

17. 难度：中等

已知点A（0，1），B（1，0），C（1，2），D（2，1），试判断向量和的位置关系，并给出证明．

18. 难度：中等

预算用2000元购买单价为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌椅的总数尽可能的多，但椅子数不少于桌子数且不多于桌子数的1.5倍，问桌、椅各买多少才行？

19. 难度：中等

选修4-4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，曲线L：ρsin²θ=2cosθ，过点A（5，α）（α为锐角且）作平行于的直线l，且l与曲线L分别交于B，C两点．
（I）以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，取与极坐标相同单位长度，建立平面直角坐标系，写出曲线L和直线l的普通方程；
（II）求|BC|的长．

20. 难度：中等

设函数f（x）=lnx+ln（2-x）+ax（a＞0）．
（1）当a=1时，求f（x）的单调区间．
（2）若f（x）在（0，1]上的最大值为，求a的值．