2009-2010学年河南省洛阳市高二（下）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若复数的实部与虚部互为相反数，则b=（ ）
A．1
B．2
C．-1
D．0

2. 难度：中等

设a，b∈R，则“lg（a²+1）＜lg（b²+1）”是a＜b的（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件

3. 难度：中等

已知随机变量ξ～N（2，σ²），且P（ξ≤4）=0.84，则P（0＜ξ≤2）的值为（ ）
A．0.16
B．0.44
C．0.34
D．0.58

4. 难度：中等

不等式的解集是（ ）
A．（-3，2）
B．（2，+∞）
C．（-∞，-3）∪（2，+∞）
D．（-∞，-2）∪（3，+∞）

5. 难度：中等

曲线y=4x-x³在点（-1，-3）处的切线方程是（ ）
A．y=7x+4
B．y=7x+2
C．y=x-4
D．y=x-2

6. 难度：中等

高二（1）班要从3名男生，3名女生中选出3人分别担任数学、物理、化学课代表，要求至少有一名女生，则不同的选派方案有（ ）种．
A．54
B．114
C．19
D．180

7. 难度：中等

在等差数列{a_n}中，已知log₂（a₆+a₈）=3，则数列{a_n}的前13项和S₁₃=（ ）
A．16
B．18
C．52
D．54

8. 难度：中等

下列函数在其定义域内是单调递增函数的是（ ）
A．f（x）=x³-3
B．f（x）=3x-sin
C．f（x）=e^x-
D．f（x）=lnx-

9. 难度：中等

由直线，x=2，曲线及x轴所围图形的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．2ln2

10. 难度：中等

甲、乙两人独立解某道数学竞赛题，已知该题被甲单独解出的概率为0.6，被甲或乙解出的概率为0.92，则该题被乙单独解出的概率为（ ）
A．0.32
B．0.2
C．0.68
D．0.8

11. 难度：中等

设椭圆的两个焦点分别为F₁、、F₂，过F₂作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F₁PF₂为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ）
A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

下列四个命题：
①将一组数据中的每个数据都加上同一个常数，方差不变
②设有一个回归方程为，则当变量x增加一个单位时，y平均减少5个单位
③将一组数据中的每个数据都加上同一个常数，均值不变
④在回归分析中，我们常用R²来反映拟合效果．R²越大，残差平方和就越小，拟合的效果就越好．
其中错误的命题个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

二、填空题

13. 难度：中等

若展开式中各项系数和等于64，则展开式中x的系数为    ．

14. 难度：中等

如果实数x，y满足约束条件，那么2y-x的最大值为    ．

15. 难度：中等

已知x＞0，y＞0，且-1，x，4，y，6，这五个数的算术平均数是2，则的最小值是    ．

16. 难度：中等

观察下列不等式：1＞，1++＞1，1+++…+＞，1+++…+＞2，1+++…+＞，…，由此猜测第n个不等式为     （n∈N^*）．

三、解答题

17. 难度：中等

在△ABC中，A，B为锐角，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos2A=，sinB=．
（1）求角C；
（2）若三角形的面积S=，求a，b，c的值．

18. 难度：中等

箱子里共有10个小球，每个小球被抽取的机会相同，这10个小球中，标记号码为“1”的小球有1个，标记号码为“2”的小球有2个，标记号码为“3”的小球有3个，标记号码为“4”的小球有4个，现从中任取3个小球．
（1）求任取的3个小球中至少有1个标记号码为“4”的概率；
（2）记取出的3 个小球里最大标记号码为ξ，写出ξ的分布列并求E（ξ）．

19. 难度：中等

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA₁=4，D是BC的中点，E是CC₁上的点，且CE=1．
（1）求证：BE⊥平面ADB₁；
（2）求二面角B-AB₁-D的余弦值．

20. 难度：中等

已知双曲线C：的两个焦点分别为F₁（-2，0），F₂（2，0），焦点到渐近线的距离为．
（1）求双曲线C的方程；
（2）记O为坐标原点，过点M（0，2）的直线l交双曲线C于E、F两点，若△EOF的面积为，求直线l的方程．

21. 难度：中等

已知数列{a_n}的首项
（1）证明：数列是等比数列，并求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）证明：．

22. 难度：中等

已知函数f（x）=x-ln（x+a）在（-a，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．
（1）求实数a的值；
（2）若m＞n＞0，求证：；
（3）若关于x的方程f（x）+2x=x²+λ在上恰有两个不相等的实数根，求实数λ的取值范围．