2012-2013学年甘肃省白银市会宁三中高二（上）期末数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

命题p：a²+b²＜0（a，b∈R）；命题q：（a-2）²+|b-3|≥0（a，b∈R），下列结论正确的是（ ）
A．“p∨q”为真
B．“p∧q”为真
C．“￢p”为假
D．“￢q”为真

2. 难度：中等

椭圆+=1上一点P到它一个焦点的距离是7，则P到另一个焦点的距离是（ ）
A．17
B．15
C．3
D．1

3. 难度：中等

若a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．a+c≥b-c
B．ac＞bc
C．＞0
D．（a-b）c²≥0

4. 难度：中等

中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4，2），则它的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

在△ABC中，a=2，b=，B=，则A等于（ ）
A．
B．或
C．
D．

6. 难度：中等

若k∈R，则“k＞3”是“方程-=1表示双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

7. 难度：中等

设P为双曲线上的一点，F₁，F₂是该双曲线的两个焦点，若|PF₁|：|PF₂|=3：2，则△PF₁F₂的面积为（ ）
A．
B．12
C．
D．24

8. 难度：中等

已知点A（3，4），F是抛物线y²=8x的焦点，M是抛物线上的动点，当|MA|+|MF|最小时，M点坐标是（ ）
A．（0，0）
B．（3，2）
C．（2，4）
D．（3，-2）

9. 难度：中等

函数在区间[0，1]上是增函数，则a的取值范围为（ ）
A．a＞0
B．a＜0
C．a≥0
D．a≤0

10. 难度：中等

经过点且与双曲线有共同渐近线的双曲线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

已知双曲线=1，（a＞0，b＞0）的左，右焦点分别为F₁，F₂，点P在双曲线的右支上，且|PF₁|=4|PF₂|，则此双曲线的离心率e的最大值为（ ）
A．
B．
C．2
D．

12. 难度：中等

有下列命题：
①“若x²+y²=0，则x，y全是0”的否命题；
②“全等三角形是相似三角形”的否命题；
③“若m≥1，则mx²-2（m+1）x+m+3＞0的解集是R”的逆命题；
④“若a+7是无理数，则a是无理数”的逆否命题．
其中正确的是（ ）
A．①②③
B．②③④
C．①③④
D．①④

二、填空题

13. 难度：中等

下列命题中：①∀x∈R，（x-）²＞0；②∀x∈R，e^x＞0；③∃x∈Z，lgx=-6；④∃x∈R，3x²-3x+4=0；⑤∃x∈R，（x-1）²≤0．其中为真命题的是    ．

14. 难度：中等

已知动圆M与直线y=2相切，且与定圆C：x²+（y+3）²=1外切，动圆圆心M的轨迹方程是    ．

15. 难度：中等

以抛物线的焦点F为右焦点，且两条渐近线是的双曲线方程为    ．

16. 难度：中等

曲线y=x（3lnx+1）在点（1，1）处的切线方程为    ．

三、解答题

17. 难度：中等

设命题p：实数x满足x²-4ax+3a²＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足．
（Ⅰ）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
（Ⅱ）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

18. 难度：中等

数列{a_n}中，前n项和S_n=3ⁿ+1，
（1）求a₁；
（2）求通项公式a_n；
（3）该数列是等比数列吗？如不是，请说明理由；如是，请给出证明，并求出该等比数列的公比．

19. 难度：中等

函数f（x）=x³+ax²+bx+c在与x=1时都取得极值
（1）求a，b的值；
（2）函数f（x）的单调区间．

20. 难度：中等

已知直线l经过抛物线y²=4x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点．
（1）若|AF|=4，求点A的坐标；
（2）若直线l的倾斜角为45°，求线段AB的长．

21. 难度：中等

已知直线y=ax+1与双曲线3x²-y²=1；
（1）当a为何值时，直线与双曲线有一个交点；
（2）直线与双曲线交于P、Q两点且以PQ为直径的圆过坐标原点，求a值．

22. 难度：中等

已知椭圆的两焦点为F₁（-，0），F₂（，0），离心率e=．
（1）求此椭圆的方程；
（2）设直线l：y=x+m，若l与此椭圆相交于P，Q两点，且|PQ|等于椭圆的短轴长，求m的值．