2011-2012学年湖北省黄冈中学高二（下）期末数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

命题“∀x∈R，x²-2x-3≥0”的否定是（ ）
A．∃x∈R，x²-2x-3≥0
B．∀x∈R，x²-2x-3＜0
C．∃x∈R，x²-2x-3＜0
D．∀x∈R，x²-2x-3≤0

2. 难度：中等

若集合A={x∈R||x|=x}，B={x∈R|x²+x≥0}，则A∩B=（ ）
A．[-1，0]
B．[0，+∞）
C．[1，+∞）
D．（-∞，-1）

3. 难度：中等

若，则等于（ ）
A．3
B．-3
C．
D．

4. 难度：中等

已知对数函数f（x）=log_ax是增函数，则函数f（|x|+1）的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

设0＜x＜，则“x sin²x＜1”是“x sinx＜1”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

6. 难度：中等

关于x的不等式ax-b＞0的解集为（-∞，1）则关于x的不等式的解集为（ ）
A．（1，2）
B．（-1，2）
C．（-∞，-1）∪（2，+∞）
D．（-∞，1）∪（2，+∞）

7. 难度：中等

函数的图象如图所示．为了得到g（x）=sian2x的图象可以将f（x）的图象（ ）

A．向右平移个单位长度
B．向左平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度

8. 难度：中等

若函数在[-2，1]上的最大值为，则m的值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

9. 难度：中等

定义在R上的奇函数f（x）满足f（2-x）=f（x），当x∈[0，1]时，．又，则集合{x|f（x）=g（x）}等于（ ）
A．
B．
C．
D．{x|x=2k+1，k∈Z}

10. 难度：中等

已知函数f（x）的定义域为[-1，5]，部分对应值如下表．

x	-1		4	5
f（x）	1	2	2	1

f（x）的导函数y=f'（x）的图象如图所示．
下列关于函数f（x）的命题：
①函数y=f（x）是周期函数；
②函数f（x）在[0，2]是减函数；
③如果当x∈[-1，t]时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为4；
④当1＜a＜2时，函数y=f（x）-a有4个零点．
其中真命题的个数是（ ）
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个

二、填空题

11. 难度：中等

，则f[f（-2）]=    ．

12. 难度：中等

已知sinα=，cos（α+β）=-，α，，则sinβ=    ．

13. 难度：中等

若关于x的不等式|x|+|x-1|＜a（a∈R）的解集为∅，则a的取值范围是     ．

14. 难度：中等

已知函数f（x）=2x²-3xf′（1），则f′（1）=    ．

15. 难度：中等

若直线mx-ny+1=0（m＞0，n＞0）和函数f（x）=a^x+1+1（a＞0且a≠1）的图象恒过同一个定点，则的最小值为    ．

16. 难度：中等

函数f（x）在定义域R内可导，若f（x）=f（2-x），且当x∈（-∞，1）时，（x-1）f′（x）＜0，
设，则a，b，c的大小顺序为    ．

17. 难度：中等

若直角坐标平面内两点P、Q满足条件：
①P、Q都在函数f（x）的图象上；
②P、Q关于原点对称，则称点对（P，Q）是函数f（x）的一个“友好点对”（点对（P，Q）与（Q，P）看作同一个“友好点对”）．已知函数，则f（x）的“友好点对”有    个．

三、解答题

18. 难度：中等

在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知A=，c=，b=1．
（Ⅰ）求a的长及B的大小；
（Ⅱ）若0＜x≤B，求函数f（x）=2sinxcosx+2cos²x-的值域．

19. 难度：中等

已知函数f（x）和g（x）的图象关于原点对称，且f（x）=x²+2x．
（Ⅰ）求函数g（x）的解析式；
（Ⅱ）如果对∀x∈R，不等式g（x）+c≤f（x）-|x-1|恒成立，求实数c的取值范围．

20. 难度：中等

某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下的工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经预测一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元．
（Ⅰ）试写出y关于x的函数关系式；
（Ⅱ）当m=640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？

21. 难度：中等

已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）．
（Ⅰ）若a=2，求曲线y=f（x）在x=1处切线的斜率；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）设g（x）=x²-2x+2，若对任意x₁∈（0，+∞），均存在x₂∈[0，1]，使得f（x₁）＜g（x₂），求a的取值范围．

22. 难度：中等

已知函数f（x）=x-ln（x+a）在x=1处取得极值．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）若关于x的方程f（x）+2x=x²+b在上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围；
（Ⅲ） 证明：（n∈N，n≥2）．
参考数据：ln2≈0.6931．