2010-2011学年陕西师大附中高二（上）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知点F，直线l：，点B是l上的动点．若过B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是（ ）
A．双曲线
B．椭圆
C．圆
D．抛物线

2. 难度：中等

某射手独立地进行10次射击，各次中靶的概率都是0.7，设ξ表示中靶的次数，则P（ξ=8）=（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

F₁，F₂是双曲线的两个焦点，点P在双曲线上，且∠F₁PF₂=60°，则△F₁PF₂的面积是（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

双曲线-=1（mn≠0）的离心率为2，有一个焦点与抛物线y²=4x的焦点重合，则mn的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

某中学组织了一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为f（x）=（x∈R），则下列命题不正确的是（ ）
A．这次考试的数学平均成绩为80分
B．这次考试的数学成绩标准差为10
C．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同
D．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同

6. 难度：中等

在一个坛子中装有5个除颜色外完全相同的玻璃球，其中有2个红色球，3个篮色球，从中任取两次，每次取一个，第一次取后不放回，若已知第一次取出的是蓝色球，则第二次也取到蓝色球的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（，0），直线y=x-1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为-，则此双曲线的方程是（ ）
A．-=1
B．-=1
C．-=1
D．-=1

8. 难度：中等

设直线l：2x+y+2=0关于原点对称的直线为l'，若l′与椭圆的交点为A、B，点P为椭圆上的动点，则使△PAB的面积为的点P的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

9. 难度：中等

双曲线=1和椭圆=1（a＞0，m＞b＞0）的离心率互为倒数，那么以a，b，m为边长的三角形是（ ）
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．等腰三角形

10. 难度：中等

下列命题正确的是（ ）
①动点M至两定点A、B的距离之比为常数λ（λ＞0且λ≠1）．则动点M的轨迹是圆．
②椭圆为半焦距）．
③双曲线的焦点到渐近线的距离为b．
④已知抛物线y²=2px上两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）且OA⊥OB（O为原点），则y₁y₂=-p²．
A．②③④
B．①④
C．①②③
D．①③

二、填空题

11. 难度：中等

已知x、y的取值如下表：

x		1	3	4
y	2.2	4.3	4.8	6.7

从散点图分析，y与x线性相关，且回归方程为=0.95x+a，则a=    ．

12. 难度：中等

如果有99%的把握认为“X与Y有关联”，则计算出的Χ²应满足Χ²＞    ．

13. 难度：中等

过椭圆左焦点F，倾斜角为的直线交椭圆于A，B两点，若|FA|=2|FB|，则椭圆的离心率为    ．

14. 难度：中等

如图，抛物线y²=4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是    ．

15. 难度：中等

过双曲线上任意一点P作x轴的平行线交两条渐近线于Q，R两点，则=    ．

三、解答题

16. 难度：中等

袋中黑白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为，现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，规定甲先乙后，然后甲再取…，取后不放回，直到两人中有一人取到白球就终止，每个球在每次被摸出的机会均等．
（Ⅰ）求袋中原有白球的个数；
（Ⅱ）求甲取到白球的概率．

17. 难度：中等

有甲乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩后，得到如下的列联表．

	优秀	非优秀	总计
甲班	10
乙班		30
合计			105

已知在全部105人中随机抽取1人为优秀的概率为
（Ⅰ）请完成上面的列联表；
（Ⅱ）从105名学生中选出10名学生组成参观团，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从105人中剔除5人，剩下的100人再按系统抽样的方法抽取10人，请写出在105人 中，每人入选的概率．（不必写过程）
（Ⅲ）把甲班优秀的10名学生从2到11进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和作为被抽取人的序号，试求抽到6号或10号的概率．

18. 难度：中等

某同学参加3门课程的考试．假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p，q（p＞q），且不同课程是否取得优秀成绩相互独立．记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为

ξ		1	2	3
p		a	d

（Ⅰ）求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率；
（Ⅱ）求P，q的值；
（Ⅲ）求数学期望Eξ．

19. 难度：中等

已知抛物线C：y²=2px（p＞0）过点A（1，-2）．
（I）求抛物线C的方程，并求其准线方程；
（II）是否存在平行于OA（O为坐标原点）的直线L，使得直线L与抛物线C有公共点，且直线OA与L的距离等于？若存在，求直线L的方程；若不存在，说明理由．

20. 难度：中等

已知椭圆C的焦点在x轴上，一个顶点的坐标是（0，1），离心率等于．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A，B两点，交y轴于M点，若，，求证：λ₁+λ₂为定值．