2011-2012学年陕西师大附中高二（上）期末数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

椭圆=1的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

设抛物线的顶点在原点，准线方程为x=-2，则抛物线的方程是（ ）
A．y²=-8
B．y²=8
C．y²=-4
D．y²=4

3. 难度：中等

复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

4. 难度：中等

若曲线y=x²+ax+b在点（0，b）处的切线方程是x-y+1=0，则（ ）
A．a=1，b=1
B．a=-1，b=1
C．a=1，b=-1
D．a=-1，b=-1

5. 难度：中等

过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点作倾斜角为45°的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点坐标为（3，2），则p的值为（ ）
A．
B．1
C．2
D．4

6. 难度：中等

函数f（x）=x³-3x²的单调递减区间为（ ）
A．（-∞，0）
B．（0，2）
C．（2，+∞）
D．（-∞，0）∪（2，+∞）

7. 难度：中等

已知椭圆的两个焦点为，，M是椭圆上一点，若，，则该椭圆的方程是（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

下列命题中，是正确的全称命题的是（ ）
A．对任意的a，b∈R，都有a²+b²-2a-2b+2＜0
B．菱形的两条对角线相等
C．存在实数x，使得
D．对数函数在定义域上是单调函数

9. 难度：中等

观察下列各式：7²=49，7³=343，7⁴=2401，…，则7²⁰¹²的末两位数字为（ ）
A．01
B．43
C．07
D．49

10. 难度：中等

函数f（x）=e^xsinx的图象在点（3，f（3））处的切线的倾斜角为（ ）
A．
B．0
C．钝角
D．锐角

二、填空题

11. 难度：中等

已知a，b，c∈R，命题“若a+b+c=3，则a²+b²+c²≥3”的否命题是    ．

12. 难度：中等

“m＜”是“一元二次方程x²+x+m=0”有实数解的    条件． （选填“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”中的一个）

13. 难度：中等

双曲线以F₁（-3，0），F₂（3，0）为焦点，且虚轴长为实轴长的倍，则该双曲线的标准方程是    ．

14. 难度：中等

已知某生产厂家的年利润y（单位：万元）与年产量x（单位：万件）的函数关系式为y=-，则使该生产厂家获得最大年利润为    万元．

15. 难度：中等

已知二次函数f（x）=2x²-（a-2）x-2a²-a，若在区间[0，1]内至少存在一个实数b，使f（b）＞0，则实数a的取值范围是    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知a，b，c均为实数，且，
求证：a，b，c中至少有一个大于0．（请用反证法证明）

17. 难度：中等

设直线l₁：y=k₁x+1，l₂：y=k₂x-1，其中实数k₁，k₂满足k₁k₂+2=0．证明l₁与l₂的交点在椭圆2x²+y²=1上．

18. 难度：中等

已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设过点A（-a，0）的直线l与椭圆相交另一点B，若，求直线l的倾斜角．

19. 难度：中等

已知函数f（x）=（a，b为实数，且a＞1）在区间[-1，1]上的最大值为1，最小值为-2．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若函数g（x）=f（x）-mx在区间[-2，2]上为减函数，求实数m的取值范围．

20. 难度：中等

证明函数f（x）=lnx-x²+x只有一个零点．