2011-2012学年湖北省黄冈中学高二（下）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若复数z=（x²-1）+（x-1）i为纯虚数，则实数x的值为（ ）
A．-1
B．0
C．1
D．-1或1

2. 难度：中等

设集合A={x|y=ln（1-x）}，集合B={y|y=x²}，则A∩B=（ ）
A．[0，1]
B．[0，1）
C．（-∞，1]
D．（-∞，1）

3. 难度：中等

，则f[f（-2）]=（ ）
A．16
B．4
C．
D．

4. 难度：中等

对于函数y=f（x），x∈R，“y=|f（x）|的图象关于y轴对称”是“y=f（x）是奇函数”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

5. 难度：中等

如图，ABCD是边长为l的正方形，O为AD的中点，抛物线的顶点为O，且通过点C，则阴影部分的面积为（ ）

A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

如图，AB为⊙O的直径，弦AC、BD交于点P，若AB=3，CD=1，则sin∠APD的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

若直线mx-ny+2=0（m＞0，n＞0）和函数f（x）=a^x+1+1（a＞0且a≠1）的图象恒过同一个定点，则的最小值为（ ）
A．10
B．8
C．4
D．2

8. 难度：中等

函数f（x）在定义域R内可导，若f（x）=f（2-x），且当x∈（-∞，1）时，（x-1）f′（x）＜0，设，则a，b，c的大小顺序为（ ）
A．b＜c＜a
B．a＜c＜b
C．c＜a＜b
D．b＜a＜c

9. 难度：中等

定义域为R的偶函数f（x）满足对∀x∈R，有f（x+2）=f（x）-f（1），且当x∈[2，3]时f（x）=-2（x-3）²，若函数y=f（x）-log_a（x+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则a的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

已知函数f（x）的定义域为[-1，5]，部分对应值如下表．

x	-1		4	5
f（x）	1	2	2	1

f（x）的导函数y=f'（x）的图象如图所示．
下列关于函数f（x）的命题：
①函数y=f（x）是周期函数；
②函数f（x）在[0，2]是减函数；
③如果当x∈[-1，t]时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为4；
④当1＜a＜2时，函数y=f（x）-a有4个零点．
其中真命题的个数是（ ）
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个

二、填空题

11. 难度：中等

已知命题“∃x∈R，|x-a|+|x+1|≤2”是假命题，则实数a的取值范围是    ．

12. 难度：中等

若直线3x+4y+m=0与曲线（θ为参数）没有公共点，则实数m的取值范围是     ．

13. 难度：中等

已知函数f（x）在R上满足2f（x）+f（1-x）=3x²-2x+1，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是    ．

14. 难度：中等

设，若x²+y²+z²=16，则的最大值为    ．

15. 难度：中等

已知，若（a，t，n为正实数，n≥2），通过归纳推理，可推测a，t的值，则a+t=    ．（结果用n表示）

三、解答题

16. 难度：中等

已知命题p：函数y=lg（ax²-ax+1）的定义域为R，命题q：函数在x∈（0，+∞）上是减函数，若“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．

17. 难度：中等

已知函数f（x）和g（x）的图象关于原点对称，且f（x）=x²+2x．
（Ⅰ）求函数g（x）的解析式；
（Ⅱ）如果对∀x∈R，不等式g（x）+c≤f（x）-|x-1|恒成立，求实数c的取值范围．

18. 难度：中等

已知f（x）=2ln（x+a）-x²-x在x=0处取得极值．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）若关于x的方程f（x）+b=0在区间[-1，1]上恰有两个不同的实数根，求实数b的取值范围．

19. 难度：中等

某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下的工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经预测一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元．
（Ⅰ）试写出y关于x的函数关系式；
（Ⅱ）当m=640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？

20. 难度：中等

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BC=2AA₁，∠ABC=90°，D是BC的中点．
（Ⅰ）求证：A₁B∥平面ADC₁；
（Ⅱ）求二面角C₁-AD-C的余弦值；
（Ⅲ）试问线段A₁B₁上是否存在点E，使AE与DC₁成60°角？若存在，确定E点位置，若不存在，说明理由．

21. 难度：中等

设函数f（x）=e^x（e为自然对数的底数），（n∈N^*）．
（1）证明：f（x）≥g₁（x）；
（2）当x＞0时，比较f（x）与g_n（x）的大小，并说明理由；
（3）证明：（n∈N^*）．