2012-2013学年江西省宜春市高安中学高二（上）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设a，b是非零实数，若a＜b，则下列不等式成立的是（ ）
A．a²＜b²
B．ab²＜a²b
C．
D．

2. 难度：中等

数列{a_n）的前n项和为S_n，若a_n=，则S₂₀₁₂等于（ ）
A．1
B．
C．
D．

3. 难度：中等

不等式的解集是（ ）
A．（2，+∞）
B．（-2，1）∪（2，+∞）
C．（-2，1）
D．（-∞，-2）∪（1，+∞）

4. 难度：中等

某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19秒之间，将测试结果按如下方式分成六组：每一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二组，成绩大于等于14秒且小于15秒；…第六组，成绩大于等于18秒且小于等于19秒．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．设成绩小于17秒的学生人数占全班人数的百分比为x，成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为y，则从频率分布直方图中可以分析出x和y分别为（ ）

A．0.9，35
B．0.9，45
C．0.1，35
D．0.1，45

5. 难度：中等

若对任意x∈R，不等式|x|≥ax恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．a＜-1
B．|a|≤1
C．|a|＜1
D．a≥1

6. 难度：中等

已知x＞0，y＞0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则的最小值是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．4

7. 难度：中等

已知两个等差数列{a_n}和{b_n}的前n项和分别为A_n和B_n，且，则使得为整数的正整数n的个数是（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5

8. 难度：中等

如图是某县参加2008年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为A₁，A₂，…，A₁₀（如A₂表示身高（单位：cm）在[150，155）内的学生人数）．图2是统计图1中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图．现要统计身高在160～185cm（含160cm，不含185cm）的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是（ ）

A．i＜9
B．i＜8
C．i＜7
D．i＜6

9. 难度：中等

若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是（ ）
A．
B．0＜a≤1
C．0＜a≤1或
D．

10. 难度：中等

如图，三行三列的方阵中有9个数a_ij（i=1，2，3；j=1，2，3），从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

11. 难度：中等

某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛，他们每场比赛得分的情况用如右图所示的茎叶图表示，则甲、乙两名运动员比赛得分的中位数分别是    ．

12. 难度：中等

已知数列{a_n}对于任意p，q∈N^*，有a_p+a_q=a_p+q，若，则a₃₆=    ．

13. 难度：中等

设{a_n}为公比q＞1的等比数列，若a₂₀₀₄和a₂₀₀₅是方程4x²-8x+3=0的两根，则a₂₀₀₆+a₂₀₀₇=    ．

14. 难度：中等

当x∈（1，2）时，不等式x²+mx+4＜0恒成立，则m的取值范围是    ．

15. 难度：中等

已知二次函数f（x）=ax²+2x+c（x∈R）的值域为[0，+∞），则的最小值为    ．

三、解答题

16. 难度：中等

某校从高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，其成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示：
（Ⅰ）估计这次考试的平均分；
（Ⅱ）假设在[90，100]段的学生的成绩都不相同，且都在94分以上，现用简单随机抽样方法，从95，96，97，98，99，100这6个数中任取2个数，求这2个数恰好是两个学生的成绩的概率．

17. 难度：中等

等差数列{a_n}的前n项和为s_n，，．
（1）求数列{a_n}的通项a_n与前n项和为s_n；
（2）设（n∈N⁺），求证：数列{b_n}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．

18. 难度：中等

设有关于x的一元二次方程x²+2ax+b²=0．
（Ⅰ）若a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，记方程有两不等实根为事件A，方程没有实数根记为事件B，求事件A+B的概率
（Ⅱ）若a是从区间[0，3]任取的一个数，b是从区间[0，2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．

19. 难度：中等

设f（x）=x²+bx+c（b、c为常数），方程f（x）=x的两个实数根为x₁、x₂，且满足x₁＞0，x₂-x₁＞1．
（Ⅰ）求证：b²＞2（b+2c）；
（Ⅱ）设0＜t＜x₁，比较f（t）与x₁的大小．

20. 难度：中等

解关于x的不等式：．

21. 难度：中等

在数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=λa_n+λⁿ⁺¹+（2-λ）2ⁿ（n∈N^*），其中λ＞0．
（Ⅰ）记b_n=-（）ⁿ，求证数列{b_n}为等差数列，并求出数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{a_n}的前n项和S_n；
（Ⅲ）证明存在k∈N^*，使得对任意n∈N^*均成立．