2011-2012学年江西省南昌三中高二（上）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若双曲线-=1（a＞0）的离心率为2，则a=（ ）
A．2
B．
C．
D．1

2. 难度：中等

从抛物线y²=4x上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|=5，设抛物线的焦点为F，则△MPF的面积为（ ）
A．6
B．8
C．10
D．15

3. 难度：中等

过点（-1，3）且垂直于直线x-2y+3=0的直线方程为（ ）
A．2x+y-1=0
B．2x+y-5=0
C．x+2y-5=0
D．x-2y+7=0

4. 难度：中等

已知在四面体ABCD中，E，F分别是AC，BD的中点，若AB=2，CD=4，EF⊥AB，则EF与CD所成的角的度数为（ ）
A．90°
B．45°
C．60°
D．30°

5. 难度：中等

已知圆心在x轴上，半径是5且以A（5，4）为中点的弦长是2，则这个圆的方程是（ ）
A．（x-3）²+y²=25
B．（x-7）²+y²=25
C．（x±3）²+y²=25
D．（x-3）²+y²=25或（x-7）²+y²=25

6. 难度：中等

正三棱锥内有一个内切球，经过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的图是（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

已知直线l₁的方程是ax-y+b=0，l₂的方程是bx-y-a=0（ab≠0，a≠b），则下列各示意图中，正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

由直线y=x+1上的一点向圆（x-3）²+y²=1引切线，则切线长的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．
D．3

9. 难度：中等

P是双曲线-=1的右支上一点，M、N分别是圆（x+5）²+y²=4和（x-5）²+y²=1上的点，则|PM|-|PN|的最大值为（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9

10. 难度：中等

已知椭圆的一个焦点为F，若椭圆上存在点P，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF相切于线段PF的中点，则该椭圆的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

11. 难度：中等

正方体各面所在的平面将空间分成     部分．

12. 难度：中等

过点P（1，2）作一直线l，使直线l与点M（2，3）和点N（4，-5）的距离相等，则直线l的方程为     ．

13. 难度：中等

若椭圆过抛物线y²=8x的焦点，且与双曲线x²-y²=1有相同的焦点，则该椭圆的方程为    ．

14. 难度：中等

抛物线y²=2px（p＞0）的动弦AB长为a（a≥2p），则弦AB的中点M到y轴的最小距离为    ．

15. 难度：中等

点P（a，b）是双曲线x²-y²=1右支上一点，且P到渐近线距离为，则a+b=    ．

三、解答题

16. 难度：中等

求经过直线3x+2y+6=0和2x+5y-7=0的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程．

17. 难度：中等

圆经过点A（2，-3）和B（-2，-5）．
（1）若圆的面积最小，求圆的方程；
（2）若圆心在直线x-2y-3=0上，求圆的方程．

18. 难度：中等

求与双曲线有共同渐近线，并且经过点（-3，）的双曲线方程．

19. 难度：中等

如图，AB是过椭圆左焦点的一弦，C是椭圆的右焦点，已知|AB|=|AC|=4，∠BAC=90°，求椭圆方程．

20. 难度：中等

已知圆x²+y²=25，△ABC内接于此圆，A点的坐标（3，4），O为坐标原点．
（1）若△ABC的重心是，求直线BC的方程；（三角形重心是三角形三条中线的交点，并且重心到顶点的距离是它到对边中点距离的两倍）
（2）若直线AB与直线AC的倾斜角互补，求证：直线BC的斜率为定值．

21. 难度：中等

已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F（1，0）的距离减去它到y轴距离的差都是1．
（Ⅰ）求曲线C的方程
（Ⅱ）是否存在正数m，对于过点M（m，0）且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有＜0？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．