2011-2012学年山西省太原五中高二（上）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

如图：直线L₁的倾斜角α₁=30°，直线L₁⊥L₂，则L₂的斜率为（ ）

A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

设l，m，n均为直线，其中m，n在平面α内，则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

3. 难度：中等

两圆x²+y²=9和x²+y²-4x+3=0的位置关系是（ ）
A．相离
B．相交
C．内切
D．外切

4. 难度：中等

已知点A（1，2），B（3，1），则线段AB的垂直平分线的方程是（ ）
A．4x+2y=5
B．4x-2y=5
C．x+2y=5
D．x-2y=5

5. 难度：中等

已知a、b是两条异面直线，c∥a，那么c与b的位置关系（ ）
A．一定是异面
B．一定是相交
C．不可能平行
D．不可能垂直

6. 难度：中等

设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：
①若m⊥α，n∥α，则m⊥n    
②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ
③若m∥α，n∥α，则m∥n   
④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
其中正确命题的序号是（ ）
A．①和②
B．②和③
C．③和④
D．①和④

7. 难度：中等

AB为圆柱下底面内任一不过圆心的弦，过AB和上底面圆心作圆柱的一截面，则这个截面是（ ）
A．三角形
B．矩形
C．梯形
D．以上都不对

8. 难度：中等

如图为一个几何体的三视图，其中俯视图为正三角形，A₁B₁=2，AA₁=4，则该几何体的表面积为（ ）

A．6+
B．24+
C．24+2
D．32

9. 难度：中等

命题“存在x∈R，2^x≤0”的否定是（ ）
A．不存在x∈R，＞0
B．存在x∈R，≥0
C．对任意的x∈R，2^x≤0
D．对任意的x∈R，2^x＞0

10. 难度：中等

在体积为15的斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，S是C₁C上的一点，S-ABC的体积为3，则三棱锥S-A₁B₁C₁的体积为（ ）

A．1
B．
C．2
D．3

11. 难度：中等

由直线y=x+1上的一点向圆（x-3）²+y²=1引切线，则切线长的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．
D．3

12. 难度：中等

点P（x，y）在圆x²+y²=r²内，则直线和已知圆的公共点的个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．不能确定

二、填空题

13. 难度：中等

经过两圆x²+y²=9和（x+4）²+（y+3）²=8交点的直线方程为    ．

14. 难度：中等

在如图的正方体中，M、N分别为棱BC和棱CC₁的中点，则异面直线AC和MN所成的角为    度．

15. 难度：中等

正方体的全面积为S，它的顶点都在球面上，则这个球的表面积是    ．

16. 难度：中等

圆（x-2）²+（y+1）²=9的弦长为2，则弦的中点的轨迹方程是    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知圆C：x²+y²=5，及点A（1，-2），Q（0，4）．
（1）求过点A的圆的切线方程；
（2）如果P是圆C上一个动点，求线段PQ的中点M的轨迹方程．

18. 难度：中等

如图，已知△ABC是正三角形，EA、CD都垂直于平面ABC，且EA=AB=2a，DC=a，F是BE的中点．求证：
（1）FD∥平面ABC；
（2）平面EAB⊥平面EDB．

19. 难度：中等

已知实数x，y满足x²+y²-2x-2y+1=0，且y≥x，求2x-y的最大值和最小值．

20. 难度：中等

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长都为2，D为CC₁中点．
（Ⅰ）求证：AB₁⊥平面A₁BD；
（Ⅱ）求二面角A-A₁D-B的正弦值．

21. 难度：中等

已知方程x²+y²-2x-4y+m=0．
（1）若此方程表示圆，求m的取值范围；
（2）若（1）中的圆与直线x+2y-4=0相交于M，N两点，且（其中O为坐标原点）求m的值；
（3）在（2）的条件下，求以MN为直径的圆的方程．