2012-2013学年福建省厦门市双十中学高二（上）期中数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若a＞b且c∈R，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A．a²＞b²
B．ac＞bc
C．ac²＞bc²
D．a-c＞b-c

2. 难度：中等

已知数列1，，，…，，…，则是这个数列的（ ）
A．第10项
B．第11项
C．第12项
D．第21项

3. 难度：中等

曲线与曲线（k＜9）的（ ）
A．焦距相等
B．长、短轴相等
C．离心率相等
D．准线相同

4. 难度：中等

已知全集U=R，集合，则M∩（∁_UN）等于（ ）
A．{x|x≥2}
B．{x|x＜-1}
C．{x|-1＜x＜2}
D．{x|x＜-1或x≥2}

5. 难度：中等

过椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点F₁作x轴的垂线交椭圆于点P，F₂为右焦点，若∠F₁PF₂=60°，则椭圆的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

若是2^a与2^b的等比中项，则ab的最大值为（ ）
A．3
B．8
C．
D．

7. 难度：中等

已知椭圆，以及椭圆内一点P（4，2），则以P为中点的弦所在直线的斜率为（ ）
A．
B．
C．2
D．-2

8. 难度：中等

若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是（ ）
A．a＜5
B．a≥8
C．a＜5或a≥8
D．5≤a＜8

9. 难度：中等

2010上海世博会期间，假设在6号门早晨6时30分有2人进园，第一个30分钟内有4人进去并出来1人，第二个30分钟内进去8人并出来2人，第三个30分钟进去16人并出来3人，第四个30分钟内进去32人并出来4人…按照这种规律进行下去，到上午11时30分从6号门入园的人数是（ ）
A．2¹²-47
B．2¹²-57
C．2¹³-68
D．2¹⁴-80

10. 难度：中等

已知的左、右焦点，A是椭圆上位于第一象限内的一点，点B也在椭圆 上，且满足（O为坐标原点），，若椭圆的离心率等于，则直线AB的方程是  （ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

11. 难度：中等

已知{a_n}为等差数列，S_n为前n项和，若，则公差d=    ．

12. 难度：中等

椭圆x²+4y²=4的焦点坐标为    ．

13. 难度：中等

已知x、y满足约束条件，则z=2x+y的最小值为    ．

14. 难度：中等

椭圆的焦点F₁F₂，P为椭圆上的一点，已知PF₁⊥PF₂，则△F₁PF₂的面积为    ．

15. 难度：中等

若{a_n}是等差数列，首项a₁＞0，a₂₀₁₂+a₂₀₁₃＞0，a₂₀₁₂•a₂₀₁₃＜0，则使前n项和S_n＞0成立的最大自然数n是    ．

16. 难度：中等

给出下列四个命题：
①函数的最小值为6；
②不等式的解集是{x|-1＜x＜1}；
③若a＞b＞-1，则；
④若|a|＜2，|b|＜1，则|a-b|＜1．
所有正确命题的序号是     ．

三、解答题

17. 难度：中等

在数列{a_n}中，a₁=2，点（a_n，a_n+1）（n∈N^*）在直线y=2x上．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若b_n=log₂a_n，求数列的前n项和T_n．

18. 难度：中等

若一动点P到两定点的距离之和为4．
（ I）求动点P的轨迹方程；
（ II）设动点P的轨迹为曲线C，在曲线C任取一点Q，过点Q作x轴的垂线段QD，D为垂足，当Q在曲线C上运动时，求线段QD的中点M的轨迹方程．

19. 难度：中等

已知等比数列{a_n}满足，数列{b_n}满足b₁=-1，b_n+1=b_n+（2n-1）（n=1，2，3…）．
（I）求数列{a_n}的通项a_n；
（Ⅱ）求数列{b_n}的通项b_n；
（Ⅲ）若，求数列{c_n}的前n项和T_n．

20. 难度：中等

已知关于x的不等式ax²-3x+2＞0的解集为{x|x＜1或x＞b}
（1）求a，b； 
（2）解关于x的不等式ax²-（ac+b）x+bc＜0 （c∈R）

21. 难度：中等

现在“汽车”是很“给力”的名词．汽车厂商对某款汽车的维修费进行电脑模拟试验，分别以汽车使用年限n和前n年累计维修费S_n（万元）为横、纵坐标绘制成点，发现点（n，S_n）在函数y=ax²+bx（a≠0）的图象上（如图所示），其中A（5，1.05）、B（10，4.1）．
（1）求出累计维修费S_n关于使用年数n的表达式，并求出第n年得维修费；
（2）汽车开始使用后每年均需维修，按国家质量标准规定，出售后前两年作为保修时间，在保修期间的维修费用由汽车厂商承担，保修期过后，汽车维修费用有车主承担．若某人以9.18万元的价格购买这款品牌车，求年平均耗资费的最小值．（年平均耗资费=）

22. 难度：中等

已知椭圆的长轴长是短轴长的两倍，且过点C（2，1），点C关于原点O的对称点为点D．
（I）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）点P在椭圆E上，直线CP和DP的斜率都存在且不为0，试问直线CP和DP的斜率之积是否为定值？若是，求此定值；若不是，请说明理由：
（Ⅲ）平行于CD的直线l交椭圆E于M，N两点，求△CMN面积的最大值，并求此时直线l的方程．