2011-2012学年山东省济宁市梁山一中高一（下）期中数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

cos75°•cos15°-sin255°•sin15°的值是（ ）
A．0
B．
C．
D．1

2. 难度：中等

y=（sinx+cosx）²-1是（ ）
A．最小正周期为2π的偶函数
B．最小正周期为2π的奇函数
C．最小正周期为π的偶函数
D．最小正周期为π的奇函数

3. 难度：中等

如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为（ ）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．由增加的长度决定

4. 难度：中等

下列说法中，正确的个数为（ ）
（1）
（2）已知向量=（6，2）与=（-3，k）的夹角是钝角，则k的取值范围是k＜0
（3）若向量能作为平面内所有向量的一组基底
（4）若，则在上的投影为．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

5. 难度：中等

已知，则cosβ的值为（ ）
A．-1
B．-1或
C．
D．

6. 难度：中等

设f（x）是以2为周期的奇函数，且，若，则f（4cos2α）=（ ）
A．-3
B．3
C．
D．

7. 难度：中等

设向，t是实数，|-t|的最小值为（ ）
A．
B．
C．1
D．

8. 难度：中等

已知，且垂直，则实数λ的值为（ ）
A．
B．-
C．
D．1

9. 难度：中等

已知函数f（x）=Asin（wx+φ）（x∈R，A＞0，w＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式是（ ）

A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

函数的单调减区间为（ ）
A．（k∈Z）
B．（k∈Z）
C．（k∈Z）
D．（k∈Z）

11. 难度：中等

已知函数f（x）=|2^x-1|，a＜b＜c，且f（a）＞f（c）＞f（b），则下列结论中，必成立的是（ ）
A．a＜0，b＜0，c＜0
B．a＜0，b＜0，c＞0
C．2^-a＜2^c
D．2^a+2^c＜2

12. 难度：中等

已知集合U={（x，y）|x∈R，y∈R}，M={（x，y）||x|+|y|＜a}，P={（x，y）y=f（x）}，现给出下列函数：
①y=a^x
②y=log_ax
③y=sin（x+a）
④y=cosax，
若0＜a＜1时，恒有P∩∁uM=P，则f（x）所有可取的函数的编号是（ ）
A．①②③④
B．①②④
C．①②
D．④

二、填空题

13. 难度：中等

一个扇形的面积为1，周长为4，则这个扇形的圆心角为    ．

14. 难度：中等

如图，在△ABC中，AD⊥AB，，，则=    ．

15. 难度：中等

已知sin（+α）=，则cos（）=    ．

16. 难度：中等

关于函数f（x）=sin2x-cos2x有下列命题：
①函数y=f（x）的周期为π；
②直线是y=f（x）的一条对称轴；
③点是y=f（x）的图象的一个对称中心；
④将y=f（x）的图象向左平移个单位，可得到的图象．
其中真命题的序号是    ．（把你认为真命题的序号都写上）

三、解答题

17. 难度：中等

已知向量=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ）．
（1）当时，求的值．
（2）已知=，，求sinβ的值．

18. 难度：中等

已知函数f（x）=1+sin（2x-）．
（1）求函数的最小正周期和最大值；
（2）求函数的增区间；
（3）函数的图象可以由函数y=sinx的图象经过怎样的变换得到？

19. 难度：中等

如图，已知点A（1，1）和单位圆上半部分上的动点B．
（1）若，求向量；
（2）求||的最大值．

20. 难度：中等

如图所示，圆柱的高为2，底面半径为，AE、DF是圆柱的两条母线，过AD作圆柱的截面交下底面于BC．
（1）求证：BC∥EF；
（2）若四边形ABCD是正方形，求证BC⊥BE；
（3）在（2）的条件下，求二面角A-BC-E的平面角的一个三角函数值．

21. 难度：中等

如图，某小区准备绿化一块直径为BC的半圆形空地，△ABC外的地方种草，△ABC的内接正方形PQRS为一水池，其余地方种花．若BC=20米，∠ABC=θ，设△ABC的面积为S₁，正方形PQRS的面积为S₂，将比值称为“规划合理度”．
（1）试用θ表示S₁和S₂．
（2）当θ变化时，求“规划合理度”取得最小值时的角θ的大小．

22. 难度：中等

如图，G是△OAB的重心，P、Q分别是边OA、OB上的动点，且P、G、Q三点共线．
（1）设，将用λ、、表示；
（2）设，，证明：是定值；
（3）记△OAB与△OPQ的面积分别为S、T．求的取值范围．