2012-2013学年福建省莆田一中高二（上）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

高二年级有14个班，每个班的同学从1到50排学号，为了交流学习经验，要求每班学号为14的同学留下来进行交流，这里运用的是（ ）
A．分层抽样
B．抽签抽样
C．随机抽样
D．系统抽样

2. 难度：中等

从装有2个红球和2个黑球的口袋中任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）
A．“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”
B．“至少有一个黑球”与“至少有-个红球”
C．“至少有-个黑球”与“都是红球”
D．“至多有一个黑球”与“都是黑球”

3. 难度：中等

已知x与y之间的一组数据：

x		1	2	3
y	1	3	5	7

则x与y的线性回归方程为必过点（ ）
A．（1，2）
B．（1.5，4）
C．（2，2）
D．（1.5，0）

4. 难度：中等

将五进制数1234_（5）化为十进制数为（ ）
A．14214
B．26
C．41241
D．194

5. 难度：中等

“若x≠a且x≠b，则x²-（a+b）x+ab≠0”的否命题是（ ）
A．若x=a且x=b，则x²-（a+b）x+ab=0
B．若x=a或x=b，则x²-（a+b）x+ab≠0
C．若x=a且x=b，则x²-（a+b）x+ab≠0
D．若x=a或x=b，则x²-（a+b）x+ab=0

6. 难度：中等

先后抛掷两枚骰子，设出现的点数之和是12、11、10的概率依次是P₁、P₂、P₃，则（ ）
A．P₁=P₂＜P₃
B．P₁＜P₂＜P₃
C．P₁＜P₂=P₃
D．P₃=P₂＜P₁

7. 难度：中等

“平面内一动点到两定点距离之和为一定值”是“这动点的轨迹为椭圆”的（ ）
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．不充分不必要条件

8. 难度：中等

椭圆4x²+9y²=144内有一点P（3，2）过点P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在直线的方程为（ ）
A．3x+2y-12=0
B．2x+3y-12=0
C．4x+9y-144=0
D．9x+4y-144=0

9. 难度：中等

不论k为何值，直线y=kx+1与椭圆+=1有公共点，则实数m的范围是（ ）
A．（0，1）
B．[1，+∞）
C．[1，7）∪（7，+∞）
D．（0，7）

10. 难度：中等

椭圆和双曲线有公共焦点，则椭圆的离心率是（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

11. 难度：中等

命题“对任何x∈R，|x-2|+|x-4|＞3”的否定是    ．

12. 难度：中等

运行如图所示框图的相应程序，若输入a，b的值分别为log₂3和log₃2，则输出M的值是    ．

13. 难度：中等

在如图所示的“茎叶图”表示的数据中，众数和中位数分别    和    ．

14. 难度：中等

已知双曲线的两条渐近线方程为，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为    ．

15. 难度：中等

下列说法正确的序号是   
①￢（p∧q）为真命题的充要条件是（￢p）∨（￢q）为真命题
②（￢p）∧（￢q）为真命题的一个充分而不必要条件是￢（p∨q）为真命题
③直线a²x-y+6=0与直线4x-（a-3）y+9=0互相垂直的一个充分而不必要条件为a=-1
④x≠y且x≠-y是x²≠y²的一个必要而不充分条件．

三、解答题

16. 难度：中等

设椭圆C₁的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26．若曲线C₂上的点到椭圆C₁的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，求曲线C₂的标准方程．

17. 难度：中等

在区间[0，1]上随机取两个数m，n，求关于x的一元二次方程有实根的概率．

18. 难度：中等

为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行出样检查，测得身高情况的统计图如下：

（1）估计该校男生的人数；
（2）估计该校学生身高在170～185cm之间的概率；
（3）从样本中身高在165～180cm之间的女生中任选2人，求至少有1人身高在170～180cm之间的概率．

19. 难度：中等

设命题p：实数x满足x²-4ax+3a²＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足
（1）若，若p∧q假，p∨q真，求实数x的取值范围；
（2）￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

20. 难度：中等

椭圆（a＞b＞0）与直线x+y=1交于P、Q两点，且OP⊥OQ，其中O为坐标原点．
（1）求的值；
（2）若椭圆的离心率e满足≤e≤，求椭圆长轴的取值范围．

21. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，经过点且斜率为k的直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q．
（Ⅰ）求k的取值范围；
（Ⅱ）设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A，B，是否存在常数k，使得向量与共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．