2011-2012学年福建省厦门外国语学校高三（上）期中数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为（ ）
A．7
B．6
C．5
D．3

2. 难度：中等

下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（ ）

A．（1），（2）
B．（1），（3）
C．（1），（4）
D．（2），（4）

3. 难度：中等

“b²=ac”是“a，b，c成等比数列”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

4. 难度：中等

下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间上为减函数的是（ ）
A．y=sin2
B．y=2|cosx|
C．y=-tan
D．

5. 难度：中等

y=x-2sinx，x的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

已知非零向量、，满足•=0且3²=²，则与-的夹角为（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

如图，在△ABC中，，延长CB到D，使，则λ-μ的值是（ ）
A．1
B．3
C．-1
D．2

8. 难度：中等

已知三条不重合的直线m、n、l与两个不重合的平面α、β，有下列命题：
①若m∥n，n⊂α，则m∥α；
②若l⊥α，m⊥β且l∥m，则α∥β；
③若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；
④若α⊥β，α∩β=m，n⊂β，n⊥m，则n⊥α．
其中正确的命题个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

9. 难度：中等

设某工厂生产总值月平均增长率为p，则年平均增长率为（ ）
A．p
B．12p
C．（1+p）¹²
D．（1+p）¹²-1

10. 难度：中等

若正项等差数列{a_n}和正项等比数列{b_n}，且a₁=b₁，a₂=b₂，公差d＞0，则a_n与b_n（n≥3）的大小关系是（ ）
A．a_n＞b_n
B．a_n≥b_n
C．a_n＜b_n
D．a_n≤b_n

11. 难度：中等

三棱锥P-ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，且长度分别为3、4、5，则三棱锥P-ABC外接球的表面积是（ ）
A．20
B．25
C．50π
D．200π

12. 难度：中等

某几何体中的一条线段长为，在该几何体的正视图中，这条线段的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a+b的最大值为（ ）
A．
B．
C．4
D．

二、填空题

13. 难度：中等

一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该球的体积为，则该正方体的表面积为    ．

14. 难度：中等

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N、P、Q、R、S分别是AB、BC、C₁D₁、C₁C、A₁B₁、B₁B的中点，则下列判断：
①PQ与RS共面；
②MN与RS共面；
③PQ与MN共面；
则正确的结论是    ．

15. 难度：中等

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D为棱AA₁的中点．若截面△BC₁D是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为    ．

16. 难度：中等

已知，把数列{a_n}的各项排成如图所示的三角形的形状，记A_m×n表示第m行，第n列的项，则A_10×8=    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知数列{a_n}是公差不为零的等差数列，且a₂=3，又a₄，a₅，a₈成等比数列
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设S_n为数列{a_n}的前n项和，求使a_n=S_n成立的所有n的值．

18. 难度：中等

如图，在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=1，PB=PD=，点E在PD上，且PE：ED=2：1，
（1）求四棱锥P-ABCD的体积；
（2）在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？证明你的结论．

19. 难度：中等

已知函数，且函数f（x）的最小正周期为π．
（1）若，求函数f（x）的单调递减区间；
（2）将函数y=f（x）的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的，把所得到的图象再向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）在区间上的最小值．

20. 难度：中等

（文科做）已知向量=（cosx，sinx），=（cos，-sin），且，求：
①及||；
②若f（x）=-2λ||的最小值是，求实数λ的值．

21. 难度：中等

如图，已知ABCD为平行四边形，∠A=60°，AF=2FB，AB=6，点E在CD上，EF∥BC，BD⊥AD，BD与EF相交于N．现将四边形ADEF沿EF折起，使点D在平面BCEF上的射影恰在直线BC上．

（Ⅰ）求证：BD⊥平面BCEF；
（Ⅱ）求折后直线DN与直线BF所成角的余弦值；
（Ⅲ）求三棱锥N-ABF的体积．

22. 难度：中等

已知函数f（x）=
（1）当a=3时，求f（x）的单调递增区间；
（II）求证：曲线y=f（x）总有斜率为a的切线；
（III）若存在x∈[-1，2]，使f（x）＜0成立，求a的取值范围．