2007-2008学年贵州省遵义四中高二（下）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

两个对角面都是矩形的平行六面体是（ ）
A．正方体
B．正四棱柱
C．长方体
D．直平行六面体

2. 难度：中等

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，直线和直线A₁D所成的角为（ ）

A．90°
B．45°
C．60°
D．30°

3. 难度：中等

若直线a与直线b，c所成的角相等，则b，c的位置关系为（ ）
A．相交
B．平行
C．异面
D．以上答案都有可能

4. 难度：中等

当太阳光线与水平面的倾斜角为60°时，要使一根长为2m的细杆的影子最长，则细杆与水平地面所成的角为（ ）
A．15°
B．30°
C．45°
D．60°

5. 难度：中等

已知直线m、n是异面直线，则过直线n且与直线m平行的平面（ ）
A．有且只有一个
B．有一个或无数多个
C．有一个或不存在
D．不存在

6. 难度：中等

一个正棱锥被平行于底面的平面所截，若截得的截面面积与底面面积的比为1：2，则此正棱锥的高被分成的两段之比为（ ）
A．1：
B．1：4
C．1：（+1）
D．1：（-1）

7. 难度：中等

若=（2，1，1），=（-1，x，1）且⊥，则x的值为（ ）
A．1
B．-1
C．2
D．0

8. 难度：中等

若、均为非零向量，则是与共线的条件是（ ）
A．充分不必要
B．必要不充分
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要

9. 难度：中等

三棱锥P-ABC中，若PA=PB=PC，则顶点P在底面三角形的射影是底面三角形的（ ）
A．内心
B．外心
C．重心
D．垂心

10. 难度：中等

已知一个正六棱柱的底面边长是，最长的对角线长为8，那么这个正六棱柱的高是（ ）
A．
B．3
C．
D．4

11. 难度：中等

已知异面直线a与b所成的角为50°，P为空间一点，则过点P与a、b所成的角都是30的直线有且仅有（ ）
A．1条
B．2条
C．3条
D．4条

12. 难度：中等

已知AD是边长为2的正三角形ABC的边上的高，沿AD将△ABC折成直二面角后，点A到BC的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

13. 难度：中等

过直线外一点与这条直线平行的直线有    条．
过直线外一点与这条直线平行的平面有     个．

14. 难度：中等

若两直线a，b在平面α上的射影a′，b′是平行的直线，则a，b的位置关系是    ．

15. 难度：中等

已知，，其中为两两垂直的单位向量     ．

16. 难度：中等

一个四面体的所有棱长都是，四个顶点在同一个球面上，则此球的表面积为    ．

三、解答题

17. 难度：中等

如图，已知长方体的长宽都是4cm，高为2cm．
（1）求BC与A′C′，A′D与BC′所成角的余弦值；
（2）求AA′与BC，AA′与CC′所成角的大小．

18. 难度：中等

设||=1，||=2，2+与-3垂直，=4-，=7+2，
（1）求 的值；
（2）求＜，＞

19. 难度：中等

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为AB的中点，F为A₁A的中点，求证：E、C、D₁、F四点共面．

20. 难度：中等

已知P是菱形ABCD所在平面外一点，且PB=PD，求证：平面PAC⊥平面PBD．

21. 难度：中等

如图，在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是DC的中点，取如图所示的空间直角坐标系．
（1）写出A、B₁、E、D₁的坐标；
（2）求AB₁与D₁E所成的角的余弦值．

22. 难度：中等

如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB，PC的中点．
（1）求证：EF∥平面PAD；
（2）求证：EF⊥CD；
（3）若∠PDA=45°，求EF与平面ABCD所成的角的大小．