2012-2013学年浙江省嘉兴市高二（下）期末数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知i是虚数单位，则=（ ）
A．1+i
B．
C．
D．1-i

2. 难度：中等

某物体的运动路程S（单位：m）与时间t（单位：s）的关系可用函数S（t）=t³-2表示，则此物体在t=1s时的瞬时速度（单位：m/s）为（ ）
A．1
B．3
C．-1
D．0

3. 难度：中等

已知，则（ ）
A．M＞N
B．M≥N
C．M＜N
D．M≤N

4. 难度：中等

已知函数f（x）=-x³+3x²+m（x∈[-2，2]），f（x）的最小值为1，则f（x）的最大值为（ ）
A．5
B．22
C．21
D．2

5. 难度：中等

函数f（x）=ax³-3x²+x+1在R上是单调函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．a＞3
B．a≥3
C．a＜3
D．a≤3

6. 难度：中等

在复平面内，复数z=1-2i对应的向量为，复数z²对应的向量为，则向量所对应的复数为（ ）
A．4+2i
B．4-2i
C．-4-2i
D．-4+2i

7. 难度：中等

函数f（x）=x²+x-lnx的极值点的个数是（ ）
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个

8. 难度：中等

已知i是虚数单位，设复数z=（a-1）+ai（a∈R）的共轭复数为，若，则a的值为（ ）
A．1
B．0
C．0或1
D．1或2

9. 难度：中等

如图所示，把1，3，6，10，15，21，…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形，试求第20个三角形数是（ ）

A．208
B．209
C．210
D．211

10. 难度：中等

设函数f（x）的导数f′（x），且f（x）=f′（）cosx+sinx，则f′（）=（ ）
A．1
B．0
C．
D．

11. 难度：中等

若直线x+y+m=0（m∈R）不可能是曲线f（x）=ax²+lnx的切线，则实数a的取值范围是（ ）
A．a≤0
B．
C．
D．a≥0

12. 难度：中等

已知函数，则下列命题正确的是（ ）
A．对任意，方程f（x）=a只有一个实根
B．对任意，方程f（x）=a总有两个实根
C．对任意，总存在正数x，使得f（x）＞a成立
D．对任意和正数x，总有f（x）＞a成立

二、填空题

13. 难度：中等

已知i是虚数单位，z=i+2i²+3i³+4i⁴，则|z|=    ．

14. 难度：中等

若曲线y=xlnx上一点P到直线的距离最小，则点P的横坐标为    ．

15. 难度：中等

函数的单调递增区间是    ．

16. 难度：中等

已知i是虚数单位，则复数z₁=a+bi，z₂=b+ai（其中a＞0，b∈R）满足，则z₁=    ．

17. 难度：中等

已知实数x满足恒成立，则实数a的最小值为    ．

18. 难度：中等

已知函数，若f（x）在（0，+∞）上存在极大值点，则实数a的取值范围是    ．

三、解答题

19. 难度：中等

已知复数z=1+ai（a∈R），且z+i为实数，若复数（z+mi）²在复平面内对应的点在第一象限，求实数m的取值范围．

20. 难度：中等

已知x，y为正实数，求证：．

21. 难度：中等

设函数f（x）=x³+ax²+bx（a，b∈R），已知曲线y=f（x）在点M（-1，f（-1））处的切线方程是y=4x+3．
（1）求a，b的值；
（2）求函数f（x）在区间[-2，2]的最大值．

22. 难度：中等

已知函数
（1）若f'（1）=2，求m的值；
（2）若函数y=f（x）在[1，+∞）上为单调函数，求m的取值范围．

23. 难度：中等

已知函数，，a_n+1=f（a_n）（n∈N^*）．
（1）计算a₂，a₃，a₄的值，并猜想数列{a_n}的通项公式（不用证明）；
（2）试证明：对任意n∈N^*，a₁，a_n，不可能成等差数列．

24. 难度：中等

已知函数f（x）=axlnx，，其中a∈R．
（1）令，试讨论函数f（x）的单调区间；
（2）若对任意的，总有f（x₁）-f（x₂）＜g（x₁）-g（x₂）成立，试求实数a的取值范围．（其中e是自然对数的底数）