2011-2012学年山东省济南外国语学校高二（下）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若a∈R，则a=2是（a-1）（a-2）=0的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

2. 难度：中等

椭圆8x²+3y²=24的焦点坐标为（ ）
A．（0，±）
B．（±，0）
C．（0，±）
D．（+，0）

3. 难度：中等

若命题“p∧q”为假，且“￢p”为假，则（ ）
A．p或q为假
B．q假
C．q真
D．不能判断q的真假

4. 难度：中等

设抛物线的顶点在原点，准线方程为x=-2，则抛物线的方程是（ ）
A．y²=-8
B．y²=8
C．y²=-4
D．y²=4

5. 难度：中等

（e^x+2x）dx等于（ ）
A．1
B．e-1
C．e
D．e²+1

6. 难度：中等

已知向量=（-1，2，1），=（3，x，1），且⊥，那么||等于（ ）
A．
B．2
C．
D．5

7. 难度：中等

已知△ABC，B（-3，0），C（3，0），△ABC的周长为14，则A点的轨迹方程（ ）
A．+=1
B．+=1
C．+=1（x≠±4）
D．+=1（x≠±5）

8. 难度：中等

下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是（ ）
A．a＞b+1
B．a＞b-1
C．a²＞b²
D．a³＞b³

9. 难度：中等

设a＞0，则椭圆x²+2y²=2a的离心率是（ ）
A．
B．
C．
D．与a的取值有关

10. 难度：中等

如图，在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M为AC与BD的交点，若=，=，=．则下列向量中与相等的向量是（ ）
A．-++
B．
C．
D．--+

11. 难度：中等

设双曲线的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．
B．y=±2
C．
D．

12. 难度：中等

已知椭圆的中心在原点，离心率，且它的一个焦点与抛物线y²=-4x的焦点重合，则此椭圆方程为（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

13. 难度：中等

设，为向量，命题“若=，则||=||的逆否命题是    ．

14. 难度：中等

若=（2x，1，3），=（1，-2y，9），且∥，则 x=    ，y=    ．

15. 难度：中等

抛物线y²=-12x上一点P到焦点F的距离等于9，则点P到y轴的距离    ．

16. 难度：中等

如图，已知椭圆的左顶点为A，左焦点为F，上顶点为B，若∠BAO+∠BFO=90°，则该椭圆的离心率是    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知命题P：关于x的不等式x²+（a-1）x+1≤0的解集为∅，命题q：方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，若命题￢q为真命题，p∨q为真命题，求实数a的取值范围．

18. 难度：中等

（1）焦点在x轴上的椭圆，短轴上的一个端点与两个焦点为同一个正三角形的顶点，焦点与椭圆上点的最近距离为，求椭圆标准方程．
（2）已知双曲线与椭圆+=1公共焦点，且以y=±x为渐近线，求双曲线方程．

19. 难度：中等

已知单位正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，E分别是棱C₁D₁的中点，试求：
（1）AE与平面BB₁C₁C所成的角的正弦值；
（2）二面角C₁-DB-A的余弦值．

20. 难度：中等

已知抛物线C的方程为y=x²，过（0，1）点的直线l与C相交于点A，B，证明：OA⊥OB（O为坐标原点）

21. 难度：中等

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，AC⊥BC，AC=BC=BB₁，点D是BC的中点．
（I） 求证：A₁C∥平面AB₁D；
（Ⅱ）判断在线段B₁B上是否存在一点M，使得A₁M⊥B₁D？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

22. 难度：中等

已知抛物线C：y²=8x，直线y=2x+b与抛物线C相交于A，B两点，且|AB|=，求b的值．

四、选择题

23. 难度：中等

命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是（ ）
A．所有不能被2整除的整数都是偶数
B．所有能被2整除的整数都不是偶数
C．存在一个不能被2整除的整数是偶数
D．存在一个能被2整除的整数不是偶数

24. 难度：中等

若方程+=1所表示的曲线为C，给出下列四个命题：
①若C为椭圆，则1＜t＜4；
②若C为双曲线，则t＞4或t＜1；
③曲线C不可能是圆； 
④若C表示椭圆，且长轴在x轴上，则1＜t＜．
其中真命题的序号为

3

3

．
A．①②
B．②③
C．③④
D．②④

25. 难度：中等

在下列条件中，使M与A、B、C不共面的是

3

3

．
A．=++
B．+2+=
C．=++2
D．+++=

26. 难度：中等

有下列命题：
①双曲线-=1与椭圆+y²=1有相同的焦点；
②“-＜x＜0”是“2x²-5x-3＜0”必要不充分条件；
③若向量，共线，则向量，所在的直线平行；
④若向量，，两两共面，则向量，，一定也共面；
⑤∀x∈R，x²-3x+3≠0．
其中是真命题的个数（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

五、填空题

27. 难度：中等

已知=（3，3，2），=（4，-3，7），=（0，5，1），则（+）•=    ．

28. 难度：中等

若直线ax-y+1=0经过抛物线y²=4x的焦点，则实数a=    ．

六、解答题

29. 难度：中等

正方体．ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为l，点F、H分别为为A₁D、A₁C的中点．
（Ⅰ）证明：A₁B∥平面AFC；
（Ⅱ）证明：B₁H⊥平面AFC．

30. 难度：中等

已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M（2，1）平行于OM的直线l在y轴上的截距为m（m≠0），l交椭圆于A、B两个不同点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求m的取值范围；
（Ⅲ）设直线MA、MB的斜率分别为k₁，k₂，求证k₁+k₂=0．