2012-2013学年吉林省长春实验中学高二（下）期初数学试卷B（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

命题“∀x＞0，x²+x＞O“的否定是（ ）
A．∃x＞0，使得x²+x＞0
B．∃x＞0，x²+x≤0
C．∀x＞0，都有x²+x≤0
D．∀x≤0，都有x²+x＞0

2. 难度：中等

设函数，则（ ）
A．x=e为f（x）的极大值点
B．x=e为f（x）的极小值点
C．x=e^-1为f（x）的极大值点
D．x=e^-1为 f（x）的极小值点

3. 难度：中等

已知命题p：∃x∈R，cosx=；命题q：∀x∈R，x²-x+1＞0．则下列结论正确的是（ ）
A．命题p∧q是真命题
B．命题p∧￢q是真命题
C．命题￢p∧q是真命题
D．命题￢pv￢q是假命题

4. 难度：中等

如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，CA=CC₁=2CB，则直线BC₁与直线AB₁夹角的余弦值为（ ）

A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内．直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

6. 难度：中等

已知F₁、F₂为双曲线C：x²-y²=2的左、右焦点，点P在C上，|PF₁|=2|PF₂|，则cos∠F₁PF₂=（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

设{a_n}是等比数列，则“a₁＜a₂＜a₃”是“数列{a_n}是递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件

8. 难度：中等

已知双曲线的右焦点与抛物线y²=12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（ ）
A．
B．
C．3
D．5

9. 难度：中等

已知命题p₁：函数y=2^x-2^-x在R为增函数，p₂：函数y=2^x+2^-x在R为减函数，则在命题q₁：p₁∨p₂，q₂：p₁∧p₂，q₃：（￢p₁）和q₄：p₁∧（￢p₂）中，真命题是（ ）
A．q₁，q₃
B．q₂，q₃
C．q₁，q₄
D．q₂，q₄

10. 难度：中等

已知双曲线C₁：的离心率为2．若抛物线的焦点到双曲线C₁的渐近线的距离为2，则抛物线C₂的方程为（ ）
A．
B．x²=y
C．x²=8y
D．x²=16y

11. 难度：中等

已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为．与双曲线x²-y²=1的渐近线有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆c的方程为（ ）
A．+=1
B．+=1
C．+=1
D．+=1

12. 难度：中等

已知f（x）=x³-6x²+9x-abc，a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0．现给出如下结论：
①f（0）f（1）＞0；
②f（0）f（1）＜0；
③f（0）f（3）＞0；
④f（0）f（3）＜0．
其中正确结论的序号是（ ）
A．①③
B．①④
C．②③
D．②④

二、填空题

13. 难度：中等

已知a，b，c∈R，命题“若a+b+c=3，则a²+b²+c²≥3”的否命题是    ．

14. 难度：中等

过抛物线y²=4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，若|AF|=3，则|BF|=    ．

15. 难度：中等

已知M是曲线y=1nx+上的一点，若曲线在M处的切线的倾斜角是均不小于的锐角，则实数a的取值范围是    ．

16. 难度：中等

椭圆的左焦点为F，直线x=m与椭圆相交于点A、B，当△FAB的周长最大时，△FAB的面积是    ．

三、解答题

17. 难度：中等

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD．
（Ⅰ）证明：PA⊥BD；
（Ⅱ）若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值．

18. 难度：中等

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，AD=PD，E、F分别为CD、PB的中点．
（1）求证：EF⊥平面PAB；
（2）设，求AC与平面AEF所成的角的正弦值．

19. 难度：中等

如图，F₁、F₂分别是椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点，A是椭圆C的顶点，B是直线AF₂与椭圆C的另一个交点，∠F₁AF₂=60°．
（Ⅰ）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）已知△AF₁B的面积为40，求a，b 的值．

20. 难度：中等

如图，等边三角形OAB的边长为，且其三个顶点均在抛物线E：x²=2py（p＞0）上．
（1）求抛物线E的方程；
（2）设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y=-1相较于点Q．证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=lnx-；
（I）若a＞0，试判断f（x）在定义域内的单调性；
（II）若f（x）在[1，e]上的最小值为，求a的值；
（III）若f（x）＜x²在（1，+∞）上恒成立，求a的取值范围．

22. 难度：中等

设，证明：
（Ⅰ）当x＞1时，f（x）＜（ x-1）；
（Ⅱ）当1＜x＜3时，．