2011-2012学年广西桂林十八中高二（上）期中数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

抛物线y=4x²的焦点坐标为（ ）
A．（1，0）
B．
C．（0，1）
D．

2. 难度：中等

若集合P={x|3x-x²≤0}，Q={x||x|≤2}，则P∩Q=（ ）
A．[-2，2]
B．[-2，0]
C．[2，3]
D．[-2，3]

3. 难度：中等

焦点为（0，-6），（0，6），经过点（2，-5）的双曲线标准方程为（ ）
A．-=1
B．
C．
D．

4. 难度：中等

已知a＜0，b＜-1，则下列正确的是（ ）
A．a＞ab＞ab²
B．ab²＞ab＞a
C．ab＞a＞ab²
D．ab＞ab²＞a

5. 难度：中等

已知两点A（7，4），B（-5，6），则线段AB的垂直平分线的方程为（ ）
A．5x+6y+11=0
B．6x-y-1=0
C．5x+6y-11=0
D．6x-5y+1=0

6. 难度：中等

椭圆+=1上一点P到一个焦点的距离等于3，则它到相应的准线的距离为（ ）
A．2
B．4
C．5
D．7

7. 难度：中等

已知实数x，y满足，则2x-3y的最大值为（ ）
A．15
B．14
C．13
D．12

8. 难度：中等

直线l：x-2y-2=0与圆C：（x-2）²+（y-1）²=4相交于A，B两点，则|AB|等于（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

曲线与曲线的（ ）
A．焦距相等
B．离心率相等
C．焦点相同
D．准线相同

10. 难度：中等

正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y²=2px（p＞0）上，则这个正三角形的边长为（ ）
A．2P
B．2P
C．4P
D．4P

11. 难度：中等

若不等式x²+ax+1≥0对一切成立，则a的最小值为（ ）
A．0
B．-2
C．
D．-3

12. 难度：中等

双曲线-=1（a＞0，b＞0）的两个焦点为F₁，F₂，P为其上一点，且|PF₁|=m|PF₂|（m＞1），若双曲线的离心率e∈[3，+∞），则实数m的最大值为（ ）
A．2
B．4
C．8
D．9

二、填空题

13. 难度：中等

圆心在原点上与直线x+y-2=0相切的圆的方程为     ．

14. 难度：中等

双曲线的两条准线间的距离为    ．

15. 难度：中等

若2m+n-1=0（mn＞0），则的最大值是    ．

16. 难度：中等

已知双曲线的准线过椭圆的焦点，且直线y=kx+2与椭圆在第一象限至多只有一个交点，则实数k的取值范围为    ．

三、解答题

17. 难度：中等

解关于x的不等式：．

18. 难度：中等

如果a，b都是正数，且a≠b，求证a⁶+b⁶＞a⁴b²+a²b⁴

19. 难度：中等

某公司租赁甲、乙两种设备生产A，B两类产品，甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件，乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产A类产品50件，B类产品140件，求所需租赁费最少为多少元？

20. 难度：中等

已知一个圆的圆心为坐标原点O，半径为2，从这个圆上任意一点P向x轴作垂线PP′，P′为垂足．
（Ⅰ）求线段PP′中点M的轨迹方程； 
（Ⅱ）已知直线x-y-2=0与M的轨迹相交于A、B两点，求△OAB的面积．

21. 难度：中等

已知斜率为1的直线l与双曲线C：交于B，D两点，BD的中点为M（1，3）．
（Ⅰ）求C的离心率；
（Ⅱ）设C的右焦点为F，|DF|•|BF|≤17，求b²-a²取值范围．

22. 难度：中等

已知抛物线C：y=2x²，直线y=kx+2交C于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线交C于点N．
（Ⅰ）证明：抛物线C在点N处的切线与AB平行；
（Ⅱ）是否存在实数k使，若存在，求k的值；若不存在，说明理由．