2011-2012学年广西桂林中学高二（下）期中数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

5名同学去听同时进行的4个课外知识讲座，每名同学可自由选择听其中的1个讲座，不同选法的种数是（ ）
A．5⁴
B．4⁵
C．5×4×3×2
D．

2. 难度：中等

已知a，b是异面直线，直线c∥直线a，则c与b的位置关系是（ ）
A．一定是异面直线
B．一定是相交直线
C．不可能是平行直线
D．不可能是相交直线

3. 难度：中等

已知三条直线m、n、l，三个平面a、b、g，下列四个命题中，正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

下列四个图是正方体或正四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的图的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

5. 难度：中等

设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足，，，则△BCD是（ ）
A．钝角三角形
B．直角三角形
C．锐角三角形
D．不确定

6. 难度：中等

P是△ABC所在平面外一点，且PA=PB=PC．PH⊥平面ABC．垂足为H，则H为△ABC的（ ）
A．垂心
B．外心
C．内心
D．重心

7. 难度：中等

直线PA⊥矩形ABCD，且AB=3．BC=4．PA=1，则点P到对角线BD的距离是（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，侧面AB₁内有一动点P到直线A₁B₁与直线BC的距离相等，则动点P的轨迹为一段（ ）
A．圆弧
B．双曲线弧
C．椭圆弧
D．抛物线弧

9. 难度：中等

三棱锥A-BCD的棱长全相等，E是AD中点，则直线CE与直线BD所成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

顶点在同一球面上的正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=1，AA₁=，则A、D₁两点间的球面距离为（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

若地球半径为R，在北纬45°圈上有A、B两点，且这两点间的球面距离为，则北纬45°圈所在平面与过A、B两点的球的大圆面所成的二面角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

A、B两点在平面α的同侧，AC⊥α于C．BD⊥α于D．AD∩BC=E、EF⊥α于F，AC=a、BD=b，则EF的长是（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

13. 难度：中等

若长方体的长、宽、高分别为3，4，5，则这个长方体的对角线长为    ．

14. 难度：中等

用0，1，2，3，4，5这六个数字，可以组成    个没有重复数字且能被5整除的五位数（结果用数值表示）．

15. 难度：中等

长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是边长为2的正方形，高为4，则顶点A₁到截面AB₁D₁的距离为    ．

16. 难度：中等

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，则下列四个命题：
①P在直线BC₁上运动时，三棱锥A-D₁PC体积不变；
②P在直线BC₁上运动时，直线AP与平面ACD₁所成角不变；
③P在直线BC₁上运动时，二面角P-AD₁-C的大小不变；
④M在平面A₁B₁C₁D₁上到点D和C₁的距离相等的点，则M点的轨迹是直线A₁D₁，
其中真命题的序号是    ．

三、解答题

17. 难度：中等

（1）
（2）解方程：n∈N^*．

18. 难度：中等

7名学生按要求排成一排，分别有多少种排法？
（1）甲乙二人不站在两端；
（2）甲、乙、丙必须相邻；
（3）7名学生中有4男3女，4名男生站在一起，3名女生要站在一起．

19. 难度：中等

已知正三棱锥的侧面积为cm²，高为3cm，求它的体积．

20. 难度：中等

求证：如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线和它们的交线平行．

21. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，E、F分别为PC、BD的中点，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=AD．
（1）求证：EF∥平面PAD；
（2）求证：平面PAB⊥平面PCD．

22. 难度：中等

四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD．已知∠ABC=45°，AB=2，BC=，SA=SB=．
（1）证明：SA⊥BC；
（2）求直线SD与平面SAB所成角的大小；
（3）求二面角D-SA-B的大小．