2012-2013学年江苏省扬州中学高一（下）期末数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

求值sin75°=    ．

2. 难度：中等

已知直线l₁：ax+2y+6=0与l₂：x+（a-1）y+a²-1=0平行，则实数a的取值是    ．

3. 难度：中等

在△ABC中，若b²+c²-a²=bc，则A=    ．

4. 难度：中等

直线x-2y+1=0在两坐标轴上的截距之和为    ．

5. 难度：中等

已知{a_n}为等差数列，其前n项和为S_n，若a₃=6，S₃=12，则公差d=    ．

6. 难度：中等

若x+y=1，则x²+y²的最小值为    ．

7. 难度：中等

若数列{a_n}满a₁=1，=，a₈=    ．

8. 难度：中等

设实数x，y满足，则的最大值是    ．

9. 难度：中等

设sin（+θ）=，则sin2θ=    ．

10. 难度：中等

光线从A（1，0）出发经y轴反射后到达x²+y²-6x-6y+17=0所走过的最短路程为    ．

11. 难度：中等

函y=2sinx+sin（-x）的最小值是    ．

12. 难度：中等

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别a，b，c，给出下列结论：
①A＞B＞C，则sinA＞sinB＞sinC；
②若==，△ABC为等边三角形；
③必存在A，B，C，使tanAtanBtanC＜tanA+tanB+tanC成立；
④若a=40，b=20，B=25°，△ABC必有两解．
其中，结论正确的编号为    （写出所有正确结论的编号）．

13. 难度：中等

平面直角坐标系中，O为坐标原点，M是直线l：x=3上的动点，过点F（1，0）作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点P（m，n）．则m，n满足的关系式为    ．

14. 难度：中等

已知等比数{a_n}，a₁=1，a₄=8，在a_n与a_n+1两项之间依次插入2^n-1个正整数，得到数列{b_n}，即a₁，1，a₂，2，3，a₃，4，5，6，7，a₄，8，9，10，11，12，13，14，15，a₅，…则数列{b_n}的前2013项之和S₂₀₁₃=    （用数字作答）．

二、解答题

15. 难度：中等

已知二次函数y=f（x）图象的顶点是（-1，3），又f（0）=4，一次函数y=g（x）的图象过（-2，0）和（0，2）．
（1）求函数y=f（x）和函数y=g（x）的解析式；
（2）求关于x的不等式f（x）＞3g（x）的解集．

16. 难度：中等

已知cosβ=-，sin（α+β）=，α∈（0，），β∈（，π）．
（1）求cos2β的值；
（2）求sinα的值．

17. 难度：中等

若等比数列{a_n}的前n项和S_n=a-．
（1）求实数a的值；
（2）求数列{na_n}的前n项和R_n．

18. 难度：中等

如图，某海域内的岛屿上有一直立信号塔AB，设AB延长线与海平面交于点O．测量船在点O的正东方向点C处，测得塔顶A的仰角为30°，然后测量船沿CO方向航行至D处，当CD=100（-1）米时，测得塔顶A的仰角为45°．
（1）求信号塔顶A到海平面的距离AO；
（2）已知AB=52米，测量船在沿CO方向航行的过程中，设DO=x，则当x为何值时，使得在点D处观测信号塔AB的视角∠ADB最大．

19. 难度：中等

已知圆O：x²+y²=r²（r＞0）与直线x-y+2=0相切．
（1）求圆O的方程；
（2）过点（1，）的直线l截圆所得弦长为2，求直线l的方程；
（3）设圆O与x轴的负半轴的交点为A，过点A作两条斜率分别为k₁，k₂的直线交圆O于B，C两点，且k₁k₂=-2，试证明直线BC恒过一个定点，并求出该定点坐标．

20. 难度：中等

设数列{a_n}的前n项和为S_n，对任意n∈N^*都有S_n=（）²成立．
（1）求数列{a_n}的前n项和S_n；
（2）记数列b_n=a_n+λ，n∈N^*，λ∈R，其前n项和为T_n．
①若数列{T_n}的最小值为T₆，求实数λ的取值范围；
②若数列{b_n}中任意的不同两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”．试问：是否存在这样的“封闭数列”{b_n}，使得对任意n∈N^*，都有T_n≠0，且＜+++L+＜．若存在，求实数λ的所有取值；若不存在，请说明理由．