2010-2011学年福建省厦门外国语学校高三（上）第一次月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知sinα=，则sin⁴α-cos⁴α的值为（ ）
A．-
B．-
C．
D．

2. 难度：中等

设a＞0，b＞0，若lga和lgb的等差中项是0，则的最小值是（ ）
A．1
B．2
C．4
D．

3. 难度：中等

在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边长分别是a、b、c．满足2acosC+ccosA=b．则sinA+sinB的最大值是（ ）
A．
B．1
C．
D．

4. 难度：中等

已知数列{a_n}为等差数列，且a₁+a₇+a₁₃=4π，则tan（a₂+a₁₂）的值为（ ）
A．-
B．
C．
D．-

5. 难度：中等

将函数的图象向左平移m个单位（m＞0），若所得图象对应的函数为偶函数，则m的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

设二次函数f（x）=x²-x+a（a＞0），若f（m）＜0，则f（m-1）的值为（ ）
A．正数
B．负数
C．非负数
D．正数、负数和零都有可能

7. 难度：中等

对任意的，x₁＜x₂，，；则（ ）
A．y₁＞y₂
B．y₁＜y₂
C．y₁=y₂
D．无法确定

8. 难度：中等

有下列命题：
①x=0是函数y=x³的极值点；
②三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d有极值点的充要条件是b²-3ac＞0；
③奇函数f（x）=mx³+（m-1）x²+48（m-2）x+n在区间（-4，4）上是单调减函数；
④若函数g（x）=（x-1）（x-2）…（x-2009）（x-2010），则g′（2010）=2009!．
其中真命题的个数有（ ）
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个

9. 难度：中等

已知函数有两个零点x₁，x₂，则有（ ）
A．x₁x₂＜0
B．x₁x₂=1
C．x₁x₂＞1
D．0＜x₁x₂＜1

10. 难度：中等

已知0＜a＜b，若函数在[a，b]上单调递增，则对于任意x₁，x₂∈[a，b]，且x₁≠x₂，使恒成立的函数g（x）可以是（ ）
A．
B．g（x）=x²+lnx-2
C．
D．

二、填空题

11. 难度：中等

在数列{a_n}中，a₁=1，a₂=2，a_n=a_n-1-a_n-2（n∈N*，n≥3），则a₂₀₁₀=    ．

12. 难度：中等

曲线y=2sin（x+）cos（x-）和直线y=在y轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P₁，P₂，P₃，…，则|P₂P₄|等于    ．

13. 难度：中等

对一切实数x，不等式x²+a|x|+1≥0恒成立，则实数a的取值范围是    ．

14. 难度：中等

已知函数f（x）=-x³+ax²+bx（a，b∈R）的图象如图所示，它与x轴在原点相切，且x轴与函数图象所围成的区域（如图阴影部分）的面积为，则a=    ．

15. 难度：中等

设函数f（x）的定义域为D，若存在非零实数l，使得对于任意x∈M（M⊆D），有x+l∈D，且f（x+l）≥f（x），则称f（x）为l上的高调函数，如果定义域是[0，+∞）的函数f（x）=（x-1）²为[0，+∞）上的m高调函数，那么实数m的取值范围是    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知等差数列{a_n}是递增数列，且满足a₄•a₇=15，a₃+a₈=8．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令，求数列{b_n}的前n项和S_n．

17. 难度：中等

已知函数f（x）=4sin²（+x）-2cos2x-1，且≤x≤．
①求f（x）的最大值及最小值；
②求f（x）的在定义域上的单调递减区间．

18. 难度：中等

已知函数f（x）=-x³+ax²+bx+c在（-∞，0）上是减函数，在（0，1）上是增函数，函数f（x）在R上有三个零点，且1是其中一个零点．
（1）求b的值；
（2）求a的取值范围．

19. 难度：中等

某企业有两个生产车间分别在A、B两个位置，A车间有100名员工，B车间有400名员工，现要在公路AC上找一点D，修一条公路BD，并在D处建一个食堂，使得所有员工均在此食堂用餐，已知A、B、C中任意两点间的距离均是1km，设∠BDC=α，所有员工从车间到食堂步行的总路程为S．
（1）写出S关于α的函数表达式，并指出α的取值范围；
（2）问食堂D建在距离A多远时，可使总路程S最少？

20. 难度：中等

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c．
（Ⅰ）若，求f（x）在[-2，4]上的最大值与最小值；
（Ⅱ）设函数f（x）的图象关于原点O对称，在点P（x，f（x））处的切线为l，l与函数f（x）的图象交于另一点Q（x₁，y₁）．若P、Q在x轴上的射影分别为P₁、Q₁，，求λ的值．

21. 难度：中等

已知a∈R，函数（其中e为自然对数的底）．
（1）当a＞0时，求函数f（x）在区间（0，e]上的最小值；
（2）是否存在实数x∈（0，e]，使曲线y=g（x）在点x=x处的切线与y轴垂直？若存在求出x的值，若不存在，请说明理由．