2010-2011学年重庆市渝中区巴蜀中学高二（下）期中数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

下列命题中正确的是（ ）
A．若一条直线与一个平面内的无数条直线平行，则这条直线平行于这个平面
B．若一条直线与一个平面内的无数条直线垂直，则这条直线垂直于这个平面
C．若两个平面互相平行，则一个平面内的任意一条直线平行于另一平面
D．若两个平面互相垂直，则一个平面内的任意一条直线垂直于另一平面

2. 难度：中等

高二年级某班有男生36人，女生28人，从中任选一位同学为数学科代表，则不同选法的种数是（ ）
A．36
B．28
C．64
D．1008

3. 难度：中等

设a、b是一对异面直线，则与a、b都垂直的直线有（ ）
A．0条
B．1条
C．2条
D．无数条

4. 难度：中等

已知二面角α-AB-β为30°，P是平面α内的一点，P到β的距离为1．则P在β内的射影到AB的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

有以下四个命题：其中正确的命题是（ ）
（1）过一点有且仅有一个平面与已知直线垂直；
（2）两条相交直线在同一平面内的射影必为相交直线；
（3）底面是正多边形，各侧棱长都相等的棱锥是正棱锥；
（4）底面是正方形，有两个侧面是矩形的四棱柱是正四棱柱．
A．（1）（4）
B．（1）（3）
C．（3）（4）
D．（2）（3）

6. 难度：中等

一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是、、，这个长方体的体积是（ ）
A．6
B．
C．3
D．2

7. 难度：中等

已知两条直线m，n和两个平面α，β，则下列命题中正确的是（ ）
A．若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α∥β
B．若m⊥α，m⊥n，n⊂β，则α∥β
C．若m∥n，n⊥β，m⊂α，则α∥β
D．若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥β

8. 难度：中等

在北纬45°圈上有M、N两地，它们在纬度圈上的弧长是（R是地球的半径），则M、N两地的球面距离为（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

用0、1、2、3四个数字组成允许数字重复的三位数，则这样的三位数共有（ ）
A．64个
B．48个
C．36个
D．16个

10. 难度：中等

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E、F分别是棱AD、CC₁上的点，若AF⊥A₁E则（ ）
A．AE=AD
B．AE=C₁F
C．AE=CF
D．C₁F=CF

二、填空题

11. 难度：中等

如果a，b是异面直线，直线c与a，b都相交，那么由这三条直线中的两条所确定的平面共有    个．

12. 难度：中等

设A、B是平面α外同侧的两点，它们到α的距离分别是4和1，AB与α所成的角为60°，则线段AB的长是    ．

13. 难度：中等

侧棱长为1的正四棱锥，如果底面周长是4，则这个棱锥的侧面积是    ．

14. 难度：中等

设P，A，B，C是球O表面上的四个点，PA，PB，PC两两垂直，且PA=PB=PC=1，则球O的表面积为    ．

15. 难度：中等

如图所示，一个矩形广告牌分为5个不同的区域，现给广告牌着色，要求相邻区域不得使用同一颜色．现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有    种．

三、解答题

16. 难度：中等

已知如图所示，PA、PO分别是平面α的垂线、斜线，AO是PO在平面α内的射影，且直线a⊂α，a⊥PO．求证：a⊥AO．

17. 难度：中等

如图，已知长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁．求证：平面AB₁D₁∥平面BDC₁．

18. 难度：中等

如图，在△ABC中，∠C是直角，平面ABC外有一点P，PC=24，点P到直线AC、BC的距离PD和PE都等于6，求：
（1）点P到平面ABC的距离PF；
（2）PC与平面ABC所成的角．

19. 难度：中等

如图，已知四棱锥S-ABCD的底面是边长为1的正方形，SD⊥底面ABCD，SB=，点M为棱SA的中点．
（1）求证：DM⊥平面SAB；
（2）求异面直线DM与SC所成角的大小．

20. 难度：中等

如图，已知三棱锥S-ABC中，底面△ABC是边长为2的正三角形，SC=1，∠SCA=90°，侧面SAC与底面ABC所成二面角为60°，E、D分别为SA和AC的中点．
（1）求点S到平面BDE的距离；
（2）求三棱锥S-ABC的体积．

21. 难度：中等

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=2，AB=AA₁=2，点D是AB的中点，点E是BB₁的中点．
（1）求证：平面CDE⊥平面ABB₁A₁；
（2）求二面角D-CE-A₁的大小．