2012-2013学年河北省唐山市滦南一中高二（下）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合M={x|x²-1＜0}，N={y|y=log₂（x+2），x∈M}，则M∩N=（ ）
A．（0，1）
B．（-1，1）
C．（-1，0）
D．∅

2. 难度：中等

已知命题p：∃x∈R，+2x+1≤0，则¬p为（ ）
A．∃x∈R，+2x+1＞0
B．∃x∈R，+2x+1＜0
C．∀x∈R，+2x+1≤0
D．∀x∈R，+2x+1＞0

3. 难度：中等

若复数（a∈R）为纯虚数，则|a+2i|=（ ）
A．5
B．13
C．
D．

4. 难度：中等

已知双曲线-=1（a＞0，b＞0）的一个焦点到一条渐近线的距离为c（c为双曲线的半焦距长），则该双曲线的离心率为（ ）
A．2
B．
C．
D．

5. 难度：中等

执行如图所示的程序框图，输出的结果是（ ）

A．127
B．128
C．255
D．256

6. 难度：中等

2013年第12届全国运动会将在沈阳举行，某校4名大学生申请当A，B，C三个比赛项目的志愿者，组委会接受了他们的申请，每个比赛项目至少分配一人，每人只能服务一个比赛项目，则不同的安排方案共有（ ）
A．72种
B．24种
C．30种
D．36种

7. 难度：中等

若（x²+1）（x-3）¹¹=a+a₁（x-2）+a₂（x-2）²+…+a₁₃（x-2）¹³，则a₁+a₂+…+a₁₁+a₁₂的值为（ ）
A．-1
B．5
C．-6
D．254

8. 难度：中等

三棱锥D-ABC及其三视图中的正视图和左视图如图，则三棱锥中最长棱的长为（ ）

A．4
B．4
C．3
D．3

9. 难度：中等

函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，下列结论：
①将f（x）的图象向左平移个单位，所得到的函数是偶函数；
②f（x）的最小正周期为π；
③f（0）=1；
④f（）＜f（）；
⑤f（x）=-f（-x）．
其中正确的是（ ）

A．①②③
B．②③④
C．①④⑤
D．②④⑤

10. 难度：中等

已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，则球O的表面积为
（ ）
A．4π
B．12π
C．16π
D．64π

11. 难度：中等

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n且满足S₁₆＞0，S₁₇＜0，则，，…中最大的项为（ ）
A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

定义在（0，）上的函数f（x），其导函数是f′（x），且恒有f（x）＜f′（x）•tanx成立，则（ ）
A．f（）＞f（）
B．f（）f（）
C．f（）＞f（）
D．f（）＜f（）

二、填空题

13. 难度：中等

已知||=1，||=6，•（-）=2，则向量与的夹角为    ．

14. 难度：中等

数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=2，a_n+1=2S_n+1（n∈N^*），则数列{a_n}的通项公式为    ．

15. 难度：中等

1000名考生的数学成绩近似服从正态分布N（100，225），则成绩在130分以上的考生人数约为    ．（注：正态总体N（μ，σ²）在区间（μ-2σ，μ+2σ）内取值的概率为0.954）

16. 难度：中等

已知直线l的倾斜角为，它与抛物线y²=2px（p＞0）相交于A，B两点，F为抛物线的焦点，若=λ（λ＞1），则λ的值为    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知锐角△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（a²+b²-c²）tanC=ab．
（Ⅰ）求角C；
（Ⅱ）若c=，求2a-b的取值范围．

18. 难度：中等

某工厂2013年上半年生产的A，B，C，D四种型号的产品产量用条形图表示如图，现用分层抽样的方法从中选取40件样品参加今年七月份的一个展销会．
（Ⅰ）问：A，B，C，D四种型号的产品分别抽取多少件？
（Ⅱ）从40件样品中随机地抽取2件，求这2件产品恰好是不同型号产品的概率；
（Ⅲ）40件样品中，从C，D型号的产品中随机抽取3件，用X表示抽取的C种型
号产品的件数，求X的分布列和数学期望．

19. 难度：中等

如图所示的五面体中，四边形ABCD是矩形，DA⊥面ABEF，且DA=1，AB∥EF，AB=EF=2，AF=BE=2．
（Ⅰ）求证：AM⊥平面ADF；
（Ⅱ）求二面角A-DF-E的余弦值．

20. 难度：中等

已知两定点E（-，0），F（，0），动点P满足•=0，由点P向x轴作垂线PQ，垂足为Q，点M满足=，点M的轨迹为C．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）若直线l交曲线C于A、B两点，且坐标原点O到直线l的距离为，求|AB|的最大值及对应的直线l的方程．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=a（x-）-2lnx．（a∈R）
（Ⅰ）曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是2x-y+b=0，求a，b的值；
（Ⅱ）若不等式f（x）≥0在[1，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．

22. 难度：中等

如图，⊙O的半径OB垂直于直径AC，M为AO上一点，BM的延长线交⊙O于N，过N点的切线交CA的延长线于P．
（1）求证：PM²=PA•PC；
（2）若⊙O的半径为2，OA=OM，求MN的长．

23. 难度：中等

在极坐标系中，已知圆C的圆心C（，），半径r=．
（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；
（Ⅱ）若α∈[0，），直线l的参数方程为（t为参数），直线l交圆C于A、B两点，求弦长|AB|的取值范围．

24. 难度：中等

已知函数f（x）=|x+a|．
（Ⅰ）当a=-1时，求不等式f（x）≥|x+1|+1的解集；
（Ⅱ）若不等式f（x）+f（-x）＜2存在实数解，求实数a的取值范围．