2012-2013学年浙江省衢州市江山实验中学高二（上）12月月考数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知过点P（-2，m），Q（m，4）的直线的倾斜角为45°，则m的值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

2. 难度：中等

设A（1，-1，1），B（3，1，5），则线段AB的中点在空间直角坐标系中的位置是（ ）
A．在y轴上
B．在xOy面内
C．在xOz面内
D．在yOz面内

3. 难度：中等

设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面．考查下列命题，其中正确的命题是（ ）
A．m⊥α，n⊂β，m⊥n⇒α⊥β
B．α∥β，m⊥α，n∥β⇒m⊥n
C．α⊥β，m⊥α，n∥β⇒m⊥n
D．α⊥β，α∩β=m，n⊥m⇒n⊥β

4. 难度：中等

把边长为a的正方形卷成圆柱形，则圆柱的体积是（ ）
A．4π³a³
B．
C．
D．

5. 难度：中等

如图：已知△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，M为AB的中点，PM⊥△ABC所在的平面，那么PA、PB、PC的大小关系是（ ）

A．PA＞PB＞PC
B．PB＞PA＞PC
C．PC＞PA＞PB
D．PA=PB=PC

6. 难度：中等

将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图（ ）

A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

已知圆C₁：（x+1）²+（y-1）²=1，圆C₂与圆C₁关于直线x-y-1=0对称，则圆C₂的方程为（ ）
A．（x+2）²+（y-2）²=1
B．（x-2）²+（y+2）²=1
C．（x+2）²+（y+2）²=1
D．（x-2）²+（y-2）²=1

8. 难度：中等

已知直线l方程为f（x，y）=0，P₁（x₁，y₁）和P₂（x₂，y₂）分别为直线l上和l外的点，则方程f（x，y）-f（x₁，y₁）-f（x₂，y₂）=0表示（ ）
A．过点P₁且与l垂直的直线
B．与l重合的直线
C．过点P₂且与l平行的直线
D．不过点P₂，但与l平行的直线

9. 难度：中等

已知直线y-1=k（x-1）恒过定点A，若点A在直线mx+ny-1=0（m，n＞0）上，则的最小值为（ ）
A．2
B．
C．4
D．

10. 难度：中等

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，点M是对角线A₁B上的动点，则AM+MD₁的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．2

二、填空题

11. 难度：中等

过点P（2，1）与直线l：y=3x-4垂直的直线方程为    ．

12. 难度：中等

在三棱锥S-ABC中，SA=SB=SC=1，∠ASB=∠ASC=∠BSC=30°，如图，一只蚂蚁从点A出发沿三棱锥的表面爬行一周后又回到A点，则蚂蚁爬过的最短路程为    ．

13. 难度：中等

以点（1，0）为圆心，且与直线2x+y=1相切的圆方程是    ．

14. 难度：中等

已知直线l：x+y-3=0与圆C：（x-1）²+（y+2）²=2则圆C上各点到l距离的最大值为    _．

15. 难度：中等

若空间四边形ABCD的两条对角线AC，BD的长分别是8，12，过AB的中点E且平行于BD，AC的截面四边形的周长为    ．

16. 难度：中等

直线y=x+b与曲线有且有一个公共点，则b的取值范围是    ．

17. 难度：中等

如图，将菱形ABCD沿对角线BD折起，使得C点至C′，E点在线段AC′上，若二面角A-BD-E与二面角E-BD-C′的大小分别为30°和45°，则=    ．

三、解答题

18. 难度：中等

根据下列条件求直线方程
（1）过点（2，1）且倾斜角为的直线方程；
（2）过点（-3，2）且在两坐标轴截距相等的直线方程．

19. 难度：中等

求经过A（2，-1）和直线x+y=1相切，且圆心在直线y=2x上的圆的方程．

20. 难度：中等

如图1，在边长为4cm的正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，M、N分别为AB、CF的中点，现沿AE、AF、EF折叠，使B、C、D三点重合于点B，构成一个三棱锥（如图2）．
（1）判别MN与平面AEF的位置关系，并给予证明；
（2）证明：平面ABE⊥平面BEF；
（3）求多面体E-AFNM的体积．

21. 难度：中等

如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC=60°，PC⊥面ABCD，E，F是PA和AB的中点．
（Ⅰ）求证：EF∥平面PBC；
（Ⅱ）若PC=2，求PA与平面PBC所成角的正弦值．

22. 难度：中等

如图，在三棱锥D-ABC中，已知△BCD是正三角形，AB⊥平面BCD，AB=BC，E为BC的中点，F在棱AC上，且AF=3FC．
（1）求证：AC⊥平面DEF；
（2）求平面DEF与平面ABD所成的锐二面角的余弦值；
（3）若M为BD的中点，问AC上是否存在一点N，使MN∥平面DEF？若存在，说明点N的位置；若不存在，试说明理由．