2009-2010学年四川省雅安市高二（上）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知抛物线的方程为y=-x²，则它的焦点坐标为（ ）
A．（1，0）
B．（0，1）
C．（-1，0）
D．（0，-1）

2. 难度：中等

已知a＞b，则下列不等式①a²＞b²②③中不一定成立的个数是（ ）
A．3
B．1
C．0
D．2

3. 难度：中等

若直线x+ay-a=0与直线ax-（2a-3）y-1=0互相垂直，则a的值是（ ）
A．2
B．-3或1
C．2或0
D．1或0

4. 难度：中等

设双曲线-=1（a＞0，b＞0）的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．y=±
B．y=±2
C．y=±
D．y=±

5. 难度：中等

设z=x²+y²，式中变量x和y满足条件，则z的最小值为（ ）
A．5
B．7
C．3
D．6

6. 难度：中等

圆x²+y²-2x+4y-20=0截直线5x-12y+c=0所得弦长为8，则c的值为（ ）
A．10
B．-68
C．12
D．10或-68

7. 难度：中等

下列命题正确的有（ ）
①对任意实数a、b，都有|a+b|+|a-b|≥2a
②函数y=x（0＜x＜1）的最大函数值为；
③对a∈R，不等式|x|＜a的解集可表示为{x|-a＜x＜a}；
④若AB≠0，则lg≥．
A．①②④
B．③④
C．②③
D．①④

8. 难度：中等

若关于x，y的方程组有实数解，则实数a，b满足（ ）
A．a²+b²＞1
B．a²+b²≥1
C．a²+b²≤1
D．a²+b²＜1

9. 难度：中等

到定点（2，0）的距离与到定直线x=8的距离之比为的动点的轨迹方程是（ ）
A．+=1
B．+=1
C．x²+2y²+8x-56=0
D．3x²+2y²-8x+68=0

10. 难度：中等

已知点A（1，2），过点P（5，-2）的直线与抛物线y²=4x相交于B，C两点，则△ABC是（ ）
A．直角三角形
B．钝角三角形
C．锐角三角形
D．不能确定

11. 难度：中等

已知F₁、F₂是椭圆的两个焦点，椭圆上总存在点M满足•=0，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．（0，1）
B．（0，]
C．（0，）
D．[，1）

12. 难度：中等

设A={（x，y）|xcosa+ysina≥1，a∈R}，B={（x，y）∉A}，求集合B表示的图形的面积（ ）
A．
B．
C．π
D．2π

二、填空题

13. 难度：中等

若a≥0，则x=-与y=-的大小关系为x    y．

14. 难度：中等

已知点（-1，-1）在直线ax+by+2=0（a＞0，b＞0）上，则+的最小值为    ．

15. 难度：中等

过双曲线的右焦点作直线交双曲线于A，B两点，且|AB|=4，则这样的直线有    条．

16. 难度：中等

当a∈（0，π]时，方程x²sina-y²cosa=1表示的曲线可能是    ．（填上你认为正确的序号）
①圆；②两条平行线；③椭圆；④双曲线；⑤抛物线．

三、解答题

17. 难度：中等

解下列不等式．
（I）
（II）|x-1|+|x+1|＜5．

18. 难度：中等

围建一个面积为360m²的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x（单位：米）．
（1）将修建围墙的总费用y表示成x的函数；
（2）当x为何值时，修建此矩形场地围墙的总费用最小？并求出最小总费用．

19. 难度：中等

已知圆C：x²+y²-2x-4y-20=0，直线l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0，m∈R．
（I）直线l是否过定点，有则求出来？判断直线与圆的位置关系及理由？
（II）求直线被圆C截得的弦长L的取值范围及L最短时弦所在直线的方程．

20. 难度：中等

已知动点M到定直线l：x=-的距离比到定点（，0）的距离多1，
（I）求动点M的轨迹C的方程；
（II）设A（a，0）（a∈R），求曲线C上点P到点A距离的最小值d（a）

21. 难度：中等

在直角坐标系xoy中，点P到两点（0，-），（0，）的距离之和等于4，设点P的轨迹为曲线C，直线y=kx+1与曲线C交于A、B两点．
（I）写出曲线C的方程．
（II）当∠AOB是锐角时，求k的取值范围．

22. 难度：中等

已知双曲线C的方程为-=1，若直线x-my-3=0截双曲线的一支所得弦长为5．
（I）求m的值；
（II）设过双曲线C上的一点P的直线与双曲线的两条渐近线分别交于P₁，P₂，且点P分有向线段所成的比为λ（λ＞0）．当时，求||||（O为坐标原点）的最大值和最小值．