2011-2012学年江苏省苏州市高三（上）期末数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

若复数（a+i）²对应的点在y轴的负半轴上（其中i是虚数单位），则实数a的值是    ．

2. 难度：中等

命题“∃x∈R，使得xsinx-1≤0”的否定是    ．

3. 难度：中等

为了解某校教师使用多媒体进行教学的情况，采用简单随机抽样的方法，从该校200名授课教师中抽取20名教师，调查了他们上学期使用多媒体进行教学的次数，结果用茎叶图表示如下：
据此可估计该校上学期200名教师中，使用多媒体进行教学次数在[15，30]内的人数为    ．

4. 难度：中等

在等比数列{a_n}中，若a₃a₅a₇=-8，则a₂a₈=    ．

5. 难度：中等

与双曲线有共同的渐近线，并且过点（-3，2）的双曲线方程为    ．

6. 难度：中等

如图是一个算法的流程图，则最后输出的W的值为    ．

7. 难度：中等

已知，3sin2α=2cosα，则cos（α-π）=    ．

8. 难度：中等

函数的单调减区间为    ．

9. 难度：中等

已知正三棱锥的底面边长为6，侧棱长为5，则此三棱锥的体积为    ．

10. 难度：中等

过点的直线l与圆C：（x-1）²+y²=4交于A、B两点，C为圆心，当∠ACB最小时，直线l的方程为     ．

11. 难度：中等

如图，测量河对岸的塔高AB时，选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD=30°，∠BDC=120°，CD=10m，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB=     m．

12. 难度：中等

等边三角形ABC中，P在线段AB上，且，若，则实数λ的值是    ．

13. 难度：中等

已知函数（a，b，c∈R，a＞0）是奇函数，若f（x）的最小值为，且，则b的取值范围是    ．

14. 难度：中等

设a，b均为大于1的自然数，函数f（x）=a（b+sinx），g（x）=b+cosx，若存在实数m，使得f（m）=g（m），则a+b=    ．

二、解答题

15. 难度：中等

△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，若．
（1）求角A；
（2）若f（x）=cos²（x+A）-sin²（x-A），求f（x）的单调递增区间．

16. 难度：中等

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=2AA₁，∠BAA₁=∠CAA₁=60°，D，E分别为AB，A₁C中点．
（1）求证：DE∥平面BB₁C₁C；
（2）求证：BB₁⊥平面A₁BC．

17. 难度：中等

如图，有一块边长为1（百米）的正方形区域ABCD，在点A处有一个可转动的探照灯，其照射角∠PAQ始终为45°（其中点P，Q分别在边BC，CD上），设∠PAB=θ，tanθ=t．
（1）用t表示出PQ的长度，并探求△CPQ的周长l是否为定值．
（2）问探照灯照射在正方形ABCD内部区域的面积S至多为多少（平方百米）？

18. 难度：中等

如图，设点P是椭圆上的任意一点（异于左，右顶点A，B）．
（1）若椭圆E的右焦点为F，上顶点为C，求以F为圆心且与直线AC相切的圆的半径；
（2）设直线PA，PB分别交直线与点M，N，求证：PN⊥BM．

19. 难度：中等

设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁=a₂=1，b_n=nS_n+（n+2）a_n，数列{b_n}是公差为d的等差数列，n∈N^*．
（1）求d的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）求证：．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=|x-m|和函数g（x）=x|x-m|+m²-7m．
（1）若方程f（x）=|m|在[-4，+∞）上有两个不同的解，求实数m的取值范围；
（2）若对任意x₁∈（-∞，4]，均存在x₂∈[3，+∞），使得f（x₁）＞g（x₂）成立，求实数m的取值范围．

21. 难度：中等

选修4-1：几何证明选讲
如图，在△ABC中，CM是∠ACB的平分线，△AMC的外接圆O交BC于点N．若AC=AB，求证：BN=2AM．

22. 难度：中等

选修4-2：矩阵与变换
已知α=为矩阵A=属于λ的一个特征向量，求实数a，λ的值及A²．

23. 难度：中等

（选做题）在极坐标系中，圆C的方程为，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数），判断直线l和圆C的位置关系．

24. 难度：中等

选修4-5：不等式选讲
设a，b，c为不全相等的正数，证明：2（a³+b³+c³）＞a²（b+c）+b²（a+c）+c²（a+b）

25. 难度：中等

将三个小球随机地投入编号1，2，3，4的4个盒子中（每个盒子容纳的小球的个数没有限制），求：
（1）第1个盒子为空盒的概率；
（2）小球最多的盒子中小球的个数X的分布列和期望．

26. 难度：中等

在如图所示的空间直角坐标系中，AB=AD=2，AC=4，E，F分别是AD，BD的中点．
（1）求直线CD与平面CEF所成角的正弦值；
（2）设点M在平面ABC内，满足DM⊥平面CEF，试求出点M的坐标．