2011-2012学年福建省厦门一中高二（上）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若a、b、c∈R，a＞b，则下列不等式成立的是（ ）
A．
B．a²＞b²
C．
D．a|c|＞b|c|

2. 难度：中等

若a∈R，则a=2是（a-1）（a-2）=0的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

3. 难度：中等

记数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2（a_n-1），则a₂（ ）
A．4
B．2
C．1
D．-2

4. 难度：中等

点p（x，y）是直线x+3y-2=0上的动点，则代数式3^x+27^y有（ ）
A．最大值8
B．最小值8
C．最小值6
D．最大值6

5. 难度：中等

给定下列命题：其中真命题的个数是（ ）
（1）若k＞0，则方程x²+2x-k=0有实数根；
（2）“若a＞b，则a+c＞b+c”的否命题；
（3）“矩形的对角线相等”的逆命题；
（4）“若xy=0，则x，y中至少有一个为0”的逆否命题．
A．1
B．2
C．3
D．4

6. 难度：中等

方程y=ax+b和a²x²+y²=b²（a＞b＞1）在同一坐标系中的图形可能是（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

公差不为零的等差数列{a_n}中，2a₃-a₇²+2a₁₁=0，数列{b_n}是等比数列，且b₇=a₇则b₆b₈=（ ）
A．2
B．4
C．8
D．16

8. 难度：中等

一船自西向东航行，上午10时到达灯塔P的南偏西75°、距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船航行的速度为（ ）
A．海里/时
B．34海里/时
C．海里/时
D．34海里/时

9. 难度：中等

若x，y满足不等式组，且z=2x+y的最大值是最小值的3倍，则a=（ ）
A．
B．0
C．
D．1

10. 难度：中等

在椭圆上有一点P，F₁，F₂是椭圆的左，右焦点，△F₁PF₂为直角三角形，则这样的点P有（ ）
A．2个
B．4个
C．6个
D．8个

二、填空题

11. 难度：中等

命题“∀x∈R，x²≥0”的否定是    ．

12. 难度：中等

若实数a，b满足a²+b²=6，则ab的最大值为    ．

13. 难度：中等

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，若S表示△ABC的面积，若acosB+bcosA=csinC，，则∠B=    ．

14. 难度：中等

我国发射的“神舟八号”的运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，近地点距地面为m千米，远地点距地面为n千米，地球半径为R千米，关于此椭圆轨道，有以下三种说法：（1）长轴长为n-m-2R千米；（2）焦距为n-m千米；（3）短轴长为千米．其中正确的说法的序号为    ．

15. 难度：中等

已知正方形ABCD，则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的离心率为     ．

16. 难度：中等

已知命题p：“∀x∈[1，2]，x²-a≥0”，命题q：“∃x∈R”，使“x²+2ax+2-a=0”，若命题P且q是假命题，则实数a的取值范围是    ．

17. 难度：中等

已知正项等比数列{a_n}满足：a₇=a₆+2a₅若存在两项a_m、a_n使得，则的最小值为    ．

18. 难度：中等

已知数列{a_n}的通项公式为a_n=（2n-1）•2ⁿ，我们用错位相减法求其前n项和S_n：由S_n=1×2+3×2²+5×2³+…（2n-1）•2ⁿ得2S_n=1×2²+3×2³+5×2⁴+…（2n-1）•2ⁿ⁺¹，两式项减得：-S_n=2+2×2²+2×2³+…+2×2ⁿ-（2n-1）•2ⁿ⁺¹，求得S_n=（2n-3）•2ⁿ⁺¹+6．类比推广以上方法，若数列{b_n}的通项公式为b_n=n²•2ⁿ，
则其前n项和T_n=    ．

三、解答题

19. 难度：中等

已知命题p：函数f（x）=（2a-1）^x是增函数；命题q：函数y=ln（2ax²-2ax+1）的定义域为R，若p∨q为真，p∧q为假，求实数a的取值范围．

20. 难度：中等

如图示，已知圆C：（x+1）²+y²=16，定点A（1，0），M为圆上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足，，点N的轨迹为曲线E．
（1）求曲线E的轨迹方程；
（2）过点A作AS⊥AC交曲线E于S，求|CS|；
（3）若Q是曲线E上的一个动点，求的最大值与最小值．

21. 难度：中等

等比数列{a_n}的各项均为正数，且2a₁+3a₂=1，
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n；
（3）设b_n=log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a_n，记数列的前n项和为T_n．若对于∀n∈N^*，恒有成立，其中m∈N^*，求m的最小值．

22. 难度：中等

某投资商到一开发区投资72万元建起一座蔬菜加工厂，第一年共支出12万元，以后每年支出增加4万元，从第一年起每年蔬菜销售收入50万元．设f（n）表示前n年的纯利润总和（f（n）=前n年的总收入-前n年的总支出-投资额）．
（1）该厂从第几年开始盈利？
（2）若干年后，投资商为开发新项目，对该厂有两种处理方法：①年平均纯利润达到最大时，以48万元出售该厂；②纯利润总和达到最大时，以16万元出售该厂，问哪种方案更合算？

23. 难度：中等

a，b，c分别是△ABC中角A，B，C的对边，且（sinB+sinC+sinA）（sinB+sinC-sinA）=sinBsinC，边b和c是关于x的方程：x²-9x+25cosA=0的两根（b＞c），D为△ABC内任一点，点D到三边距离之和为d．
（1）求角A的正弦值；       
 （2）求边a，b，c；      
（3）求d的取值范围．

24. 难度：中等

如图，椭圆C：（a＞b＞0）的一个焦点为F（1，0），且过点（2，0）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若AB为垂直于x轴的动弦，直线l：x=4与x轴交于点N，直线AF与BN交于点M．
（ⅰ）求证：点M恒在椭圆C上；
（ⅱ）求△AMN面积的最大值．