2012-2013学年吉林省长春实验中学高二（下）期初数学试卷A（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是（ ）
A．任意一个有理数，它的平方是有理数
B．任意一个无理数，它的平方不是有理数
C．存在一个有理数，它的平方是有理数
D．存在一个无理数，它的平方不是有理数

2. 难度：中等

设函数，则（ ）
A．x=e为f（x）的极大值点
B．x=e为f（x）的极小值点
C．x=e^-1为f（x）的极大值点
D．x=e^-1为 f（x）的极小值点

3. 难度：中等

已知命题p：∃x∈R，cosx=；命题q：∀x∈R，x²-x+1＞0．则下列结论正确的是（ ）
A．命题p∧q是真命题
B．命题p∧￢q是真命题
C．命题￢p∧q是真命题
D．命题￢pv￢q是假命题

4. 难度：中等

如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，CA=CC₁=2CB，则直线BC₁与直线AB₁夹角的余弦值为（ ）

A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内．直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

6. 难度：中等

已知F₁、F₂为双曲线C：x²-y²=2的左、右焦点，点P在C上，|PF₁|=2|PF₂|，则cos∠F₁PF₂=（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

设{a_n}是等比数列，则“a₁＜a₂＜a₃”是“数列{a_n}是递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件

8. 难度：中等

已知双曲线C₁：的离心率为2．若抛物线的焦点到双曲线C₁的渐近线的距离为2，则抛物线C₂的方程为（ ）
A．
B．x²=y
C．x²=8y
D．x²=16y

9. 难度：中等

已知命题p₁：函数y=2^x-2^-x在R为增函数，p₂：函数y=2^x+2^-x在R为减函数，则在命题q₁：p₁∨p₂，q₂：p₁∧p₂，q₃：（￢p₁）和q₄：p₁∧（￢p₂）中，真命题是（ ）
A．q₁，q₃
B．q₂，q₃
C．q₁，q₄
D．q₂，q₄

10. 难度：中等

已知f（x）=x³-6x²+9x-abc，a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0．现给出如下结论：
①f（0）f（1）＞0；
②f（0）f（1）＜0；
③f（0）f（3）＞0；
④f（0）f（3）＜0．
其中正确结论的序号是（ ）
A．①③
B．①④
C．②③
D．②④

11. 难度：中等

已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为．与双曲线x²-y²=1的渐近线有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆c的方程为（ ）
A．+=1
B．+=1
C．+=1
D．+=1

12. 难度：中等

若x∈[0，+∞），则下列不等式恒成立的是（ ）
A．e^x≤1+x+x²
B．
C．
D．

二、填空题

13. 难度：中等

设p：方程x²+2mx+1=0有两个不相等的正根；q：方程x²+2（m-2）x-3m+10=0无实根．则使p∨q为真，p∧q为假的实数m的取值范围是    ．

14. 难度：中等

椭圆的左焦点为F，直线x=m与椭圆相交于点A、B，当△FAB的周长最大时，△FAB的面积是    ．

15. 难度：中等

已知M是曲线y=1nx+上的一点，若曲线在M处的切线的倾斜角是均不小于的锐角，则实数a的取值范围是    ．

16. 难度：中等

过抛物线y²=4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是原点，若|AF|=3，则△AOB的面积为    ．

三、解答题

17. 难度：中等

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，AD=PD，E、F分别为CD、PB的中点．
（1）求证：EF⊥平面PAB；
（2）设，求AC与平面AEF所成的角的正弦值．

18. 难度：中等

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中AA₁=AD=1，E为CD中点．
（Ⅰ）求证：B₁E⊥AD₁；
（Ⅱ）在棱AA₁上是否存在一点P，使得DP∥平面B₁AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由．
（Ⅲ）若二面角A-B₁E-A₁的大小为30°，求AB的长．

19. 难度：中等

如图，等边三角形OAB的边长为，且其三个顶点均在抛物线E：x²=2py（p＞0）上．
（1）求抛物线E的方程；
（2）设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y=-1相较于点Q．证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点．

20. 难度：中等

如图，椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，其左焦点到点P（2，1）的距离为，不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求△APB面积取最大值时直线l的方程．

21. 难度：中等

设，证明：
（Ⅰ）当x＞1时，f（x）＜（ x-1）；
（Ⅱ）当1＜x＜3时，．

22. 难度：中等

设函数f（x）=e^x-ax-2
（Ⅰ）求f（x）的单调区间
（Ⅱ）若a=1，k为整数，且当x＞0时，（x-k） f´（x）+x+1＞0，求k的最大值．