2012-2013学年四川省成都七中高二（上）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

以下对于几何体的描述，错误的是（ ）
A．以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球
B．一个等腰三角形绕着底边上的高所在直线旋转180°形成的封闭曲面所围成的图形叫做圆锥
C．用平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台
D．以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱

2. 难度：中等

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N分别为棱AB，DD₁中点，则异面直线A₁M与C₁N所成的角是（ ）

A．0
B．
C．
D．

3. 难度：中等

下列命题中，正确的是（ ）
A．经过两条相交直线，有且只有一个平面
B．经过一条直线和一点，有且只有一个平面
C．若平面α与平面β相交，则它们只有有限个公共点
D．若两个平面有三个公共点，则这两个平面重合

4. 难度：中等

棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，四面体AB₁CD₁的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

若a，b是两条直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若a∥b，则a平行于经过b的任何平面
B．若a∥α，则a与α内任何直线平行
C．若a∥α，b∥α，则a∥b
D．若a∥b，a∥α，b⊄α，则b∥α

6. 难度：中等

若正方体的棱长为，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

执行如图所示的程序框图，输出的S值为（ ）

A．4
B．8
C．16
D．64

8. 难度：中等

一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是（ ）
A．球
B．三棱锥
C．正方体
D．圆柱

9. 难度：中等

如图，在直棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=2，∠ACB=90°，AA₁=2，E，F分别为AB、CB中点，过直线EF作棱柱的截面，若截面与平面ABC所成的二面角的大小为60°，则截面的面积为（ ）

A．3或1
B．1
C．4或1
D．3或4

10. 难度：中等

用一个平面去截正方体，对于截面的边界，有以下图形：①钝角三角形；②直角梯形；③菱形；④正五边形；⑤正六边形．则不可能的图形的选项为（ ）
A．③④⑤
B．①②⑤
C．①②④
D．②③④

11. 难度：中等

如图，平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，侧棱B₁B长为3，底面是边长为2的菱形，∠A₁AB=120°，∠A₁AD=60°，点E在棱B₁B上，则AE+C₁E的最小值为（ ）

A．
B．5
C．
D．7

12. 难度：中等

三棱锥P-ABC中，△ABC是底面，PA⊥PB，PA⊥PC，PB⊥PC，且这四个顶点都在半径为2的球面上，PA=2PB，则这个三棱锥的三个侧棱长的和的最大值为（ ）
A．16
B．
C．
D．32

二、填空题

13. 难度：中等

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=3，AD=4，AA₁=5，则直线AC₁与平面ABCD所成角的大小为    ．

14. 难度：中等

已知n次多项式P_n（x）=axⁿ+a₁x^n-1+…+a_n-1x+a_n，如果在一种计算中，计算x^k（k=2，3，4，…，n）的值需k-1次乘法．计算p₃（x）的值共需9次运算（6次乘法，3次加法）那么计算P_n（x）的值共需    次运算．

15. 难度：中等

某几何体的三视图如图所示，它的体积为    ．

16. 难度：中等

正三棱锥P-ABC中，CM=2PM，CN=2NB，对于以下结论：
①二面角B-PA-C大小的取值范围是（，π）；
②若MN⊥AM，则PC与平面PAB所成角的大小为；
③过点M与异面直线PA和BC都成的直线有3条；
④若二面角B-PA-C大小为，则过点N与平面PAC和平面PAB都成的直线有3条．       
正确的序号是    ．

三、解答题

17. 难度：中等

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为AB中点，F为正方形BCC₁B₁的中心．
（1）求直线EF与平面ABCD所成角的正切值；
（2）求异面直线A₁C与EF所成角的余弦值．

18. 难度：中等

如图，空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，且AB=AD，BC=DC．
（1）求证：BD∥平面EFGH；
（2）求证：四边形EFGH是矩形．

19. 难度：中等

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁棱长为8，E、F分别为AD₁，CD₁中点，G、H分别为棱DA，DC上动点，且EH⊥FG．
（1）求GH长的取值范围；
（2）当GH取得最小值时，求证：EH与FG共面；并求出此时EH与FG的交点P到直线B₁B的距离．

20. 难度：中等

如图，已知二面角α-AB-β的大小为120°，PC⊥α于C，PD⊥β于D，且PC=2，PD=3．
（1）求异面直线AB与CD所成角的大小；
（2）求点P到直线AB的距离．

21. 难度：中等

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=3，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE=4，将△ADE沿DE折起到△A₁DE的位置，使A₁C⊥CD，如图2．
（1）求证：A₁C⊥平面BCDE；
（2）过点E作截面EFH∥平面A₁CD，分别交CB于F，A₁B于H，求截面EFH的面积；
（3）线段BC上是否存在点P，使平面A₁DP与平面A₁BE成60的角？说明理由．

22. 难度：中等

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB=AC=AA₁=，BC=4，在A₁在底面ABC的投影是线段BC的中点O．
（1）求点C到平面A₁ABB₁的距离；
（2）求二面角A-BC₁-B₁的余弦值；
（3）若M，N分别为直线AA₁，B₁C上动点，求MN的最小值．