2003-2004学年北京市朝阳区高一（上）期末数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设全集U={1，2，3，4，5，6，7}，集合A={1，3，5}，集合B={2，3，6}，则A∪（∁_UB）=（ ）
A．{1，5}
B．{3}
C．{1，3，4，5，7}
D．{4，7}

2. 难度：中等

如果一个命题的逆命题是真命题，则它的否命题（ ）
A．一定是假命题
B．不一定是假命题
C．一定是真命题
D．不一定是真命题

3. 难度：中等

已知命题p：“-2＜x＜0”，命题q：“|x|＜2”，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件

4. 难度：中等

函数y=x²+1（x＜0）的反函数是（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

下列函数中，既是其定义域上的是单调函数，又是奇函数的是（ ）
A．y=x^-1
B．
C．y=log₂
D．y=2^x

6. 难度：中等

在等差数列{a_n}中，a₇=9，a₁₃=-2，则a₂₅=（ ）
A．-22
B．-24
C．60
D．64

7. 难度：中等

函数f（x）=|2^x-1|的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

在等比数列{a_n}中，a₁+a₂=30，a₃+a₄=120，则a₅+a₆=（ ）
A．210
B．360
C．480
D．720

9. 难度：中等

设二次函数f（x）的图象关于直线x=1对称，并且当x＞1时f（x）是增函数，又设a=f（1-π），b=f（π-1），c=f（），则实数a、b、c的关系是（ ）
A．a=b＞c
B．a＞c＞b
C．c＞b＞a
D．c＞a=b

10. 难度：中等

已知函数f（x）=lg（a^x-b^x），（其中a、b为常数，且a＞1，b＞0），若x∈（1，+∞）时，f（x）＞0恒成立，则（ ）
A．a-b≥1
B．a-b＞1
C．a-b≤1
D．a=b+1

二、填空题

11. 难度：中等

3^a=2，则log₃8-2log₃6=    ．

12. 难度：中等

已知函数f（x）满足f（x+2）=lg（x²+1），则f（x）的解析式为f（x）=    ．

13. 难度：中等

函数在[-1，1]上的最大值和最小值分别是    ．

14. 难度：中等

若等差数列{a_n}中，a₁＞0，S_n表示数列的前n项和，且S₄=S₈，则S_n取最大值时n=    ．

三、解答题

15. 难度：中等

已知奇函数f（x）的定义域是{x|x∈R，且x≠0}，当x＜0时，f（x）=xlg（2-x），求x＞0时，f（x）的解析式．

16. 难度：中等

已知三个数a、b、c成等比数列，其积为8，又a、b、c-1成等差数列，求这三个数组成的数列．

17. 难度：中等

已知某地区现有人口50万．
（I）若人口的年自然增长率为1.2%，试写出人口数y（万人）与年份x（年）的函数关系；
（Ⅱ）若20年后该地区人口总数控制在60万人，则人口的年自然增长率应为多少？（=1.009）

18. 难度：中等

已知等比数列{a_n}的各项都是正数，S_n=80，S_2n=6560，且在前n项中，最大的项为54，求n的值．

19. 难度：中等

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c满足f（1）=0．
（I）若a＞b＞c，证明f（x）的图象与x轴有两个交点，且这两个交点间的距离d满足：＜d＜3；
（Ⅱ）设f（x）在x=（t＞0，t≠1）处取得最小值，且对任意实数x，等式f（x）g（x）+a_nx+b_n=xⁿ⁺¹（其中n∈N，g（x）=x²+x+1）都成立，若数列{c_n}的前n项和为b_n，求{c_n}的通项公式．

20. 难度：中等

已知a、b为常数，且a≠0，函数f（x）=，且f（3）=1，又方程f（x）=x有唯一解．
（I）求f（x）的解析式及方程f（x）=x的解；
（Ⅱ）当x_n=f（x_n-1）（n＞1），数列是何数列？请说明理由．