2011-2012学年北京市东城区（南片）高一（下）期末数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若a，b为实数，下列命题正确的是（ ）
A．若a＞|b|，则a²＞b²
B．若|a|＞b，则a²＞b²
C．若a＞b，则a²＞b²
D．若a²＞b²，则a＞b

2. 难度：中等

已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面．下列命题中正确的是（ ）
A．若n∥α，m∥α，则n∥m
B．若m⊥α，α⊥β，则m∥β
C．若m⊥α，m⊥β，则α∥β
D．若l∥α，m⊥l，则m⊥α

3. 难度：中等

若非零向量，满足||=||，向量2+与垂直，则与的夹角为（ ）
A．150°
B．120°
C．60°
D．30°

4. 难度：中等

已知{a_n}是由正数组成的等比数列，S_n表示{a_n}的前n项的和，若a₁=2，a₂a₄=64，则S₅的值是（ ）
A．30
B．61
C．62
D．63

5. 难度：中等

已知a，b∈R，且ab≠0，则在
①≥ab；
②≥2；
③ab≤；
④≤
这四个不等式中，恒成立的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

6. 难度：中等

在等差数列{a_n}中，a₁＞0且a₅=2a₁₀，S_n表示{a_n}的前n项的和，则S_n中最大的值是（ ）
A．S₁₄
B．S₁₅
C．S₁₃或S₁₄
D．S₁₄或S₁₅

7. 难度：中等

函数f（x）=2sin²x+sin（2x+）在区间[0，]的最大值和最小值分别为（ ）
A．2，
B．，
C．2，1-
D．1+，1-

8. 难度：中等

一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱．这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等．设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为h₁，h₂，h，则h₁：h₂：h=（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

9. 难度：中等

若，则cos2θ=    ．

10. 难度：中等

若关于x的不等式-x²+2x＞ax的解集为{x|0＜x＜2}，则实数a的值为    ．

11. 难度：中等

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱长和底面边长均为2，且侧棱AA₁⊥底面ABC，其正（主）视图是边长为2的正方形，则此三棱柱侧（左）视图的面积为    ．

12. 难度：中等

已知两点A（-1，0），B（2，3），点C满足2=，则点C的坐标是    ，=    ．

13. 难度：中等

1+2+3+…+10=    ．

14. 难度：中等

定义运算符合：“Π”，这个符号表示若干个数相乘．例如：可将1×2×3×…×n记作，（n∈N^*），已知T_n=a_i（n∈N^*），其中a_i为数列{a_n}（n∈N^*）中的第i项．
①若a_n=2n-1，则T₄=    ．
②若T_n=n²（n∈N^*），则a_n=    ．

三、解答题

15. 难度：中等

如图，平行四边形ABCD中，M是DC的中点，N在线段BC上，且NC=2BN．已知=，=，试用，表示和．

16. 难度：中等

已知，，，，求sin（α+β）．

17. 难度：中等

某县一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4吨、硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1吨、硝酸盐15吨．先库存磷酸盐10吨、硝酸盐66吨，在此基础上生产这两种混合肥料．若生产1车皮甲种肥料产生的利润为10000元；生产1车皮乙种肥料产生的利润为5000元．那么分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮能产生最大的利润？

18. 难度：中等

设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且，b=2．
（Ⅰ）当A=30°时，求a的值；
（Ⅱ）当△ABC的面积为3时，求a+c的值．

19. 难度：中等

如图所示，正方形ABCD与直角梯形ADEF所在平面互相垂直，∠ADE=90°，AF∥DE，DE=DA=2AF．
（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDE；
（Ⅱ）求证：AC∥平面BEF．

20. 难度：中等

已知等差数列{a_n}中，公差d＞0，其前n项和为S_n，且满足a₂•a₄=45，a₁+a₅=14．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式及其前n项和S_n；
（Ⅱ）令b_n=（n∈N^*），若数列{c_n}满足c₁=-，c_n+1-c_n=b_n（n∈N^*）．求数列{c_n}的通项公式c_n；
（Ⅲ）求f（n）=-（n∈N^*）的最小值．