2012-2013学年山东省济宁市鱼台一中高二（上）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

“x²-1=0”是“x-1=0”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

2. 难度：中等

两条直线A₁x+B₁y+C₁=0与A₂x+B₂y+C₂=0垂直的充分不必要条件是（ ）
A．A₁A₂+B₁B₂=0
B．A₁A₂-B₁B₂=0
C．
D．

3. 难度：中等

若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x-3y=0和x轴相切，则该圆的标准方程是（ ）
A．
B．（x-2）²+（y-1）²=1
C．（x-1）²+（y-3）²=1
D．

4. 难度：中等

已知P是以F₁，F₂为焦点的椭圆上的一点，若PF₁⊥PF₂，tan∠PF₁F₂=，则此椭圆的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

方程表示双曲线，则m的取值范围是（ ）
A．m＜3
B．-3＜m＜3
C．m＞3或-3＜m＜2
D．m＞2或-3＜m＜3

6. 难度：中等

圆x²+y²+2x-1=0关于直线2x-y-3=0对称的圆的方程是（ ）
A．（x+3）²+（y-2）²=
B．（x-3）²+（y+2）²=
C．（x+3）²+（y-2）²=2
D．（x-3）²+（y+2）²=2

7. 难度：中等

已知两个不同的平面α、β，能判定α∥β的条件是（ ）
A．α、β分别平行于直线a
B．α、β分别垂直于直线a
C．α、β分别垂直于平面γ
D．α内有两条直线分别平行于β

8. 难度：中等

如图，正四棱锥P-ABCD的所有棱长相等，E为PC的中点，则异面直线BE与PA所成角的余弦值是（ ）

A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

球的表面积与它的内接正方体的表面积之比是（ ）
A．
B．
C．
D．π

10. 难度：中等

由直线y=x+2上的一点向圆（x-3）²+（y+1）²=2引切线，则切线长的最小值（ ）
A．4
B．3
C．
D．1

11. 难度：中等

已知圆（x-3）²+（y+4）²=4和直线y=kx相交于P，Q两点，则的值为（O为坐标原点）（ ）
A．12
B．16
C．21
D．25

12. 难度：中等

已知抛物线x²=y+1上一定点A（-1，0）和两动点P，Q，当PA⊥PQ时，点Q的横坐标的取值范围是（ ）
A．（-∞，-3]
B．[1，+∞）
C．[-3，1]
D．（-∞，-3]∪[1，+∞）

二、填空题

13. 难度：中等

已知F₁（0，-2）、F₂（0，2）为椭圆的两个焦点，过F₂作椭圆的弦AB，若△AF₁B的周长为16，则该椭圆的标准方程为    ．

14. 难度：中等

过点P（3，2）且与双曲线有相同渐近线方程的双曲线的标准方程为    ．

15. 难度：中等

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB=，D在棱BB₁上，且BD=2，若AD与平面AA₁C₁C所成的角为α，则α为    ．

16. 难度：中等

给出下列命题：
①如果a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面；
②如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β；
③若直线a，b是异面直线，直线b，c是异面直线，则直线a，c也是异面直线；
④已知平面α⊥平面β，且α∩β=b，若a⊥b，则a⊥平面β；
⑤已知直线a⊥平面α，直线b在平面β内，a∥b，则α⊥β．
其中正确命题的序号是    ．

三、解答题

17. 难度：中等

若直线l过点（0，3）且与抛物线y²=2x只有一个公共点，求该直线方程．

18. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，记二次函数f（x）=x²+2x+b（x∈R）与两坐标轴有三个交点．经过三个交点的圆记为C．
（1）求实数b的取值范围；
（2）求圆C的方程；
（3）问圆C是否经过定点（其坐标与b的无关）？请证明你的结论．

19. 难度：中等

求圆心在直线x-y+1=0上，且经过圆x²+y²+6x-4=0与圆x²+y²+6y-28=0的交点的圆方程．

20. 难度：中等

设F为抛物线y²=4x的焦点，A为抛物线上任意一点，以F为圆心，|AF|为半径画圆，与x轴负半轴交于B点，试判断过A，B的直线与抛物线的位置关系，并证明．

21. 难度：中等

已知椭圆的中心在原点O，焦点在坐标轴上，直线y=2x+1与该椭圆相交于P和Q，且OP⊥OQ，，求椭圆的方程．

22. 难度：中等

已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=AB．
（1）证明：DC⊥平面PAD；
（2）求二面角P-BC-A的余弦值的大小．