2012-2013学年黑龙江省双鸭山一中高一（下）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

直线经过点（0，2）和点（3，0），则它的斜率为（ ）
A．
B．
C．-
D．-

2. 难度：中等

在△ABC中，a=，b=1，c=2，则A等于（ ）
A．30°
B．45°
C．60°
D．75°

3. 难度：中等

已知a＞b，c＞d，且a，b，c，d均不为0，那么下列不等式成立的是（ ）
A．ac＞bd
B．ad＞bc
C．a-c＞b-d
D．a+c＞b+d

4. 难度：中等

已知正△ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

已知a，b，c为直线，γ为平面，给出下列例题：
①若a∥b，b∥c，则a∥c
②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c
③若a∥γ，b∥γ，则a⊥b
④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b
其中真命题的序号是（ ）
A．①②
B．②③
C．①④
D．③④

6. 难度：中等

某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（ ）
A．
B．
C．8-2π
D．

7. 难度：中等

已知（其中m，n为正数），若，则的最小值是（ ）
A．2
B．
C．4
D．8

8. 难度：中等

设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）
A．3πa²
B．6πa²
C．12πa²
D．24πa²

9. 难度：中等

若直线与直线2x+3y-6=0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

已知直线l：x-y-1=0，l₁：2x-y-2=0．若直线l₂与l₁关于l对称，则l₂的方程是（ ）
A．x-2y+1=0
B．x-2y-1=0
C．x+y-1=0
D．x+2y-1=0

11. 难度：中等

已知数列{a_n}，{b_n}满足a₁=b₁=1，，则数列的前10项的和为（ ）
A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

设f（x）=x²-6x+5，实数x，y满足条件，则的最大值是（ ）
A．
B．3
C．4
D．5

二、填空题

13. 难度：中等

平行线l₁：3x-2y-5=0与l₂：6x-4y+3=0之间的距离为    ．

14. 难度：中等

已知直线l₁：（k-3）x+（4-k）y+1=0，与l₂：2（k-3）x-2y+3=0，平行，则k的值是    ．

15. 难度：中等

不等式ax²+4x+a＞1-2x²对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是    ．

16. 难度：中等

已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，若圆锥底面面积是这个球面面积的，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知函数f（x）=，解不等式f（x）＞3．

18. 难度：中等

已知直线l经过点P（-2，5），且斜率为-
（1）求直线l的方程；
（2）若直线m与l平行，且点P到直线m的距离为3，求直线m的方程．

19. 难度：中等

如图，DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC=BC=EB=2DC=2，∠ACB=120°，P，Q分别为AE，AB的中点．
（Ⅰ）证明：PQ∥平面ACD；
（Ⅱ）求AD与平面ABE所成角的正弦值．

20. 难度：中等

如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，AB=4，AD=CD=2．将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D-ABC，如图2所示．
（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACD；
（Ⅱ）求几何体D-ABC的体积．

21. 难度：中等

在数列{a_n}中，任意相邻两项为坐标的点P（a_n，a_n+1）均在直线y=2x+k上，数列{b_n}满足条件：b₁=2，b_n=a_n+1-a_n（n∈N）．
（Ⅰ）求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若，S_n=c₁+c₂+…+c_n，求 2ⁿ⁺¹-S_n＞60n+2成立的正整数n的最小值．

22. 难度：中等

海岛B上有一座为10米的塔，塔顶的一个观测站A，上午11时测得一游船位于岛北偏东15°方向上，且俯角为30°的C处，一分钟后测得该游船位于岛北偏西75°方向上，且俯角45°的D处．（假设游船匀速行驶）
（1）求该船行使的速度（单位：米/分钟）
（2）又经过一段时间后，油船到达海岛B的正西方向E处，问此时游船距离海岛B多远．