2012-2013学年山东省青岛二中高二（下）期中数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若复数i•（1+ai）是纯虚数，则实数a的值是（ ）
A．1
B．-1
C．0
D．0或-1

2. 难度：中等

在下面的图示中，结构图是（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是（ ）
A．假设三内角都不大于60度
B．假设三内角都大于60度
C．假设三内角至多有一个大于60度
D．假设三内角至多有两个大于60度

4. 难度：中等

有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数f（x），如果f'（x）=0，那么x=x是函数f（x）的极值点，因为函数f（x）=x³在x=0处的导数值f'（0）=0，所以，x=0是函数f（x）=x³的极值点．以上推理中（ ）
A．大前提错误
B．小前提错误
C．推理形式错误
D．结论正确

5. 难度：中等

已知三角形的三边分别为a，b，c，内切圆的半径为r，则三角形的面积为s=（a+b+c）r；四面体的四个面的面积分别为s₁，s₂，s₃，s₄，内切球的半径为R．类比三角形的面积可得四面体的体积为（ ）
A．∀=（s₁+s₂+s₃+s₄）R
B．∀=（s₁+s₂+s₃+s₄）R
C．∀=（s₁+s₂+s₃+s₄）R
D．∀=（s₁+s₂+s₃+s₄）R

6. 难度：中等

设函数f（x）=x²-2x-4lnx，则f（x）的递增区间为（ ）
A．（0，+∞）
B．（-1，0），（2，+∞）
C．（2，+∞）
D．（0，1）

7. 难度：中等

已知直线y=kx是y=lnx的切线，则k的值是（ ）
A．e
B．-e
C．
D．-

8. 难度：中等

若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数Z，则表示复数的点是（ ）

A．E
B．F
C．G
D．H

9. 难度：中等

下面是关于复数的四个命题：
p₁：|z|=2，
p₂：z²=2i，
p₃：z的共轭复数为-1+i，
p₄：z的虚部为1．
其中真命题为（ ）
A．p₂，p₃
B．p₁，p₂
C．p₂，p₄
D．p₃，p₄

10. 难度：中等

函数f（x）=x³+ax²+3x-9，已知f（x）在x=-3时取得极值，则a等于（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5

11. 难度：中等

已知a＞0，函数f（x）=x³-ax在[1，+∞）上是单调增函数，则a的最大值是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

12. 难度：中等

已知函数y=xf′（x）的图象如图所示（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），下面四个图象中y=f（x）的图象大致是（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题

13. 难度：中等

过原点作曲线y=e^x的切线，切点坐标为     ．

14. 难度：中等

为了判断某校高中二年级学生选修文科是否与性别有关，现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表：

	理科	文科
男	13	10
女	7	20

根据表中数据，得到．则认为选修文科与性别有关系出错的可能性为    ．

15. 难度：中等

已知cos=，coscos=，coscoscos=，…，根据这些结果，猜想出的一般结论是    ．

16. 难度：中等

已知函数f（x）=ax³+bx²+cx，其导函数y=f′（x）的图象经过点（1，0），（2，0），如图所示，则下列说法中正确结论的序号为    ．
①当x=时函数取得极小值；
②f（x）有两个极值点；
③当x=2时函数取得极小值；
④当x=1时函数取得极大值．

三、解答题

17. 难度：中等

已知z∈C，且（i为虚数单位），求．

18. 难度：中等

已知函数f（x）=2x³-3x²+3．
（1）求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（2）若关于x的方程f（x）+m=0有三个不同的实根，求实数m的取值范围．

19. 难度：中等

设a_n=n+，求证：数列{a_n}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．

20. 难度：中等

已知两函数f（x）=8x²+16x-m，g（x）=2x³+5x²+4x，（m∈R）若对∀x₁∈[-3，3]，∃x₂∈[-3，3]，恒有f（x₁）＞g（x₂）成立，求m的取值范围．

21. 难度：中等

某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式，其中3＜x＜6，a为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．
（Ⅰ）求a的值
（Ⅱ）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．

22. 难度：中等

已知函数f（x）=lnx-；
（I）若a＞0，试判断f（x）在定义域内的单调性；
（II）若f（x）在[1，e]上的最小值为，求a的值；
（III）若f（x）＜x²在（1，+∞）上恒成立，求a的取值范围．

23. 难度：中等

已知x，y∈R，且x＞y＞e（其中e是自然对数的底数），试比较x^y与y^x的大小，并给出证明过程．