《第2章 点、直线、平面之间的位置关系》2013年单元测试卷C（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：
①若m⊥α，n∥α，则m⊥n    
②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ
③若m∥α，n∥α，则m∥n   
④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
其中正确命题的序号是（ ）
A．①和②
B．②和③
C．③和④
D．①和④

2. 难度：中等

若长方体的三个面的对角线长分别是a，b，c，则长方体体对角线长为（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

在三棱锥A-BCD中，AC⊥底面BCD，BD⊥DC，BD=DC，AC=a，∠ABC=30°，则点C到平面ABD的距离是（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，若E为A₁C₁中点，则直线CE垂直于（ ）
A．AC
B．BD
C．A₁D
D．A₁A

5. 难度：中等

三棱锥P-ABC的高为PH，若三个侧面两两垂直，则H为△ABC的（ ）
A．内心
B．外心
C．垂心
D．重心

6. 难度：中等

在四面体ABCD中，已知棱AC的长为，其余各棱的长都为1，则二面角A-CD-B的余弦值是（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

四面体S-ABC中，各个侧面都是边长为a的正三角形，E，F分别是SC和AB的中点，则异面直线EF与SA所成的角等于（ ）
A．90°
B．60°
C．45°
D．30°

二、填空题

8. 难度：中等

A、B到平面α的距离分别为4cm和6cm，则线段AB的中点M到平面α的距离为    ．

9. 难度：中等

从正方体八个顶点中任取三个点为顶点作三角形，其中直角三角形个数为    ．

10. 难度：中等

一条直线和一个平面所成的角为60°，则此直线和平面内不经过斜足的所有直线所成的角中最大的角是    ．

11. 难度：中等

已知正四棱锥的体积为12，底面对角线长为，则侧面与底面所成的二面角等于    °．

12. 难度：中等

在正三棱锥P-ABC（顶点在底面的射影是底面正三角形的中心）中，AB=4，PA=8，过A作与PB，PC分别交于D和E的截面，则截面△ADE的周长的最小值是    ．

三、解答题

13. 难度：中等

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M是AA₁的中点．求证：平面MBD⊥平面BDC₁．

14. 难度：中等

求证：三个两两垂直的平面的交线两两垂直．

15. 难度：中等

在三棱锥S-ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，，M、N分别为AB、SB的中点．
（1）证明：AC⊥SB；
（2）（理）求二面角N-CM-B的正切值；
（3）求点B到平面CMN的距离．