2010-2011学年重庆市渝中区巴蜀中学高二（下）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

直线a、b、c两两平行，但不共面，经过其中两条直线的平面共有（ ）
A．0个
B．1个
C．3个
D．6个

2. 难度：中等

直线l₁，l₂互相平行的一个充分条件是（ ）
A．l₁，l₂都平行于同一平面
B．l₁，l₂与同一平面所成的角相等
C．l₁平行于l₂所在的平面
D．l₁，l₂都垂直于同一平面

3. 难度：中等

某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示不同的信号种数是（ ）
A．3种
B．6种
C．15种
D．20种

4. 难度：中等

已知正方体外接球的体积是，那么正方体的棱长等于（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

在一个棱长为5cm的正方体的表面涂上颜色，若将它的棱都5等分；然后分别从等分点把正方体锯开，在锯开的125个棱长为1cm小正方体中表面仅有2个面涂有颜色的小正方体的个数是（ ）
A．24个
B．36个
C．48个
D．60个

6. 难度：中等

直线a、b为两异面直线，下列结论正确的是（ ）
A．过不在a、b上的任何一点，可作一个平面与a、b都平行
B．过不在a、b上的任一点，可作一直线与a、b都相交
C．过不在a、b上任一点，可作一直线与a、b都平行
D．过a可以并且只可以作一个平面与b平行

7. 难度：中等

在我校第七届春季运动会上，我年级某班学生在4×300米决赛中男女均获冠军，为表庆祝，班主任老师与8位同学站成一排照相留念，大家提议，班主任站中间（左右两边各4人），其余同学站两边且男女学生不相邻，安排的方案有（ ）
A．144种
B．288种
C．576种
D．以上三个答案均不对

8. 难度：中等

如图，△ABC是简易遮阳棚，A、B是南北方向上两个定点，正东方向射出的太阳光线与地面成40°角，为了使遮阴影面ABD面积最大，遮阳棚ABC与地面所成的角为（ ）
A．75°
B．60°
C．50°
D．45°

9. 难度：中等

在直二面角α-l-β中，A∈α，B∈β，A，B都不在l上，AB与α所成角为x，AB与β所成角为y，AB与l所成角为z，则cos²x+cos²y+sin²z的值为（ ）
A．
B．2
C．3
D．

10. 难度：中等

已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长是，在正方体表面上到点A的距离为2的点的轨迹形成的所有曲线的总长度是（ ）
A．2π
B．π
C．
D．

二、填空题

11. 难度：中等

若直线l∥平面β，则直线l与平面β所成角为    ．

12. 难度：中等

我校严格执行市教委“关于走读学生不上晚自习”的减负规定后，年级为加强晚自习的管理，决定再增加5位老师参与管理，每晚再从这5位老师中安排2位老师各负责一段时间的管理，则每晚增加的老师不同的管理安排方案有     种．

13. 难度：中等

设A、B为半径为R的地球上两点，它们同在北纬45°圈上，且经度差为90°，则A、B两点的球面距离是    ．

14. 难度：中等

二面角α-l-β的平面角为120°，在 平面 α内，AB⊥l于B，AB=3，在平面β内，CD⊥l于D，CD=4，BD=5，M是棱l上的一个动点，则AM+CM的最小值为    ．

15. 难度：中等

在平面几何里，有勾股定理“设△ABC的两边AB，AC互相垂直，则AB²+AC²=BC²”，拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出正确的结论是：“设三棱锥A-BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直，则    ．”

三、解答题

16. 难度：中等

已知如图所示，PA、PO分别是平面α的垂线、斜线，AO是PO在平面α内的射影，且直线a⊂α，a⊥PO．求证：a⊥AO．

17. 难度：中等

已知：在正四棱柱A₁B₁C₁D₁-ABCD中，棱AB=2，棱BB₁=4，点M是棱DD₁中点
（I）求三棱锥C₁-ACM的体积V；
（Ⅱ）求点C₁到平面ACM的距离．

18. 难度：中等

已知：直线b⊥平面α，平面β∥直线b，求证：α⊥β

19. 难度：中等

如图，已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，侧棱长为2，底面△ABC中，∠B=90°，AB=1，BC=，D是侧棱CC₁上一点，且BD与底面所成角为30°．
（1）求点D到AB所在直线的距离．
（2）求二面角A₁-BD-B₁的度数．

20. 难度：中等

下面的一组图形为侧棱SA垂直于底面ABCD的某一四棱锥S-ABCD的侧面与底面，画出四棱锥S-ABCD的空间图形并研究
（I）求直线SC与平面SAD所成的角的大小；
（Ⅱ）求二面角B-SC-D的大小；
（Ⅲ）求此四棱锥S-ABCD外接球半径与内切球半径之和．

21. 难度：中等

在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=∠ADC=、AB=AD=2CD=4，作MN∥AB，连接AC交MN于P，现沿MN将直角梯形ABCD折成直二面角

（I）若M为AD中点时，求异面直线MN与AC所成角；
（Ⅱ）证明：当MN在直角梯形内保持MN∥AB作平行移动时，折后所成∠APC大小不变；
（Ⅲ）当点M在怎样的位置时，点M到面ACD的距离最大？并求出这个最大值．